元数学：复杂度、随机性与不完备（一） (12-12)

还记得克罗内克的信条吗？"上帝创造了整数，其他都是人类的杰作"。如果你愿意，Ω 根本不是一个实数，它是关于某些二叉方程的事实；它只与整数、正整数有关！因此，你不能把停止概率 Ω 的比特乃不可还原的数学真理这一事实推卸掉，因为这可以被重新解释为关于二阶方程的陈述。

Chaitin (1987)：

Exponential Diophantine Equation #1

In this equation n is a parameter，and k，x， y，z， . . . are the unknowns：

L(n，k，x，y，z，...)＝R(n，k，x，y，z，...). It has infinitely many positive-integer solutions if the nth bit of Ω is a 1.

It has onlyfinitely many positive-integer solutions if the nth bit of Ω is a 0.

Ord，Kieu (2003)：

Exponential Diophantine Equation #2

In this equation n is a parameter，

and k，x，y，z，... are the unknowns：

L(n，k，x，y，z，...) ＝ R(n，k，x，y，z，...).

For any given value of the parameter n，it only has finitely many positive-integer solutions.

For each particular value of n：

the number of solutions of this equation will be odd if the nth bit of Ω is a 1，and

the number of solutions of this equation will be even if the nth bit of Ω is a 0.

如何构造这两个二元一次方程？嗯，细节有点乱。下面的方框给出了总体思路；它们总结了需要做的事情。正如你所看到的，我们之前讨论过的Ω近似值的可计算序列起着关键作用。同样重要的是，特别是对于 Ord 和 Kieu (2003)，要记住这些近似值是一个非递减的有理数序列，它们越来越接近 Ω，但始终小于 Ω 的值。

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