元数学：复杂度、随机性与不完备（一） (12-10)

而且，这个结果可以非正式地解释为：数学是随机的，或者更准确地说，数学包含随机性，即 Ω 之比特！不过，我们还需要注意一些严肃的问题！

数学并不是任意的，完全不是——2 +2 偶尔等于 5 而不是 4 ——绝对不是这种情况！但是，数学确实包含不可还原的信息，Ω 就是其中最典型的例子。

说 Ω 是随机的，可能有点令人困惑。它是一个特定的、确定的实数，从技术上讲，它符合我所说的 "随机实数"的定义。但是，数学常常以陌生的方式使用熟悉的词汇。也许更好的说法是，Ω 在算法上是不可压缩的。实际上，我更喜欢 "不可还原（irreducible）"这个词——虽然由于历史原因，"随机"这个词不可避免，但——我越来越多地使用它。

因此，也许最好的办法是避免误解，说Ω是不可还原的，这在算法或计算上是正确的，在逻辑上也是正确的，可以通过证明。而这恰好意味着Ω具有随机过程典型结果的许多特征，在物理意义上，随机过程是一个不可预测的过程，可以进行统计处理。

例如，正如我们将在下一节讨论的，在二进制中，在 Q. 的无限二进制展开中，2k 个可能的 k 位块（k-bit blocks）中，每一个都会以恰好 1/2k 的极限相对频率出现，这对于具体的实数 Ω 来说是可以证明的，尽管对于无限次独立抛掷一枚公平硬币的结果来说，这只是概率一，而不是确定无疑的。因此，回过头来看，也许选择 "随机 "这个词并没有那么糟糕！

另外，随机实数可能是无意义的，也可能是极有意义的；我的理论无法区分这两种可能性，也就无从谈起。如果这个实数是用一枚公平的硬币独立掷出每个比特的，那么它将是不可还原的，它将是无意义的。另一方面，Ω 是一个有很多含义的随机实数，因为它包含了很多关于停止问题的信息，这些信息以不可还原的方式存储在 Ω 中，没有冗余。你看，一旦你把任何有意义的东西中的冗余都压缩掉，结果必然看起来毫无意义，尽管它并非如此，根本不是这般，它只是充满了意义（meaning）！

再谈波莱尔正规数

事实上，我们不难发现Ω是正规的，也就是说，对于任何基数 b ，都是 b 正规的，而不仅仅是 2 正规（b-normal for any base b, not just 2-normal）。这一点的可爱之处在于，Ω 作为停止概率的定义似乎与正规性无关。Ω的构造并没有特别考虑到正规性；可以说，正规性就这么自由地出现了！

因此，对于任意基数 b 和任意固定基数 b "位数（digits）"k，Q. 之 b-ary 展开中，每 bk 个可能的 k 位数（k-digit）序列，其极限相对频率正好是 1/bk。在极限情况下，它们出现的可能性是相同的……

So for any base b and any fixed number k of base-b“digits,” the limiting relative frequency of each of the bk possible k-digit sequences in Q.‘s b-ary expansion will be exactly 1/bk. In the limit, they are all equally likely to appear …

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