元数学：复杂度、随机性与不完备（一） (12-1)

目录

不可还原的真理与希腊的理性理想 ▹

掷硬币、随机性VS原因、无理真、不相关的事实 ▹

纽约市立大学随机性对话，1965年 ▹

波莱尔的随机性不确定悖论 ▹

为什么不能证明程序“优美”？ ▹

回到图灵停机问题 ▹

Ω作为停止问题之预言 ▹

再谈波莱尔正规数 ▹

用二元方程求Ω的比特 ▹

为什么对随机实数Ω 如此感兴趣？ ▹

故事的寓意是什么？ ▹

反对利己主义 ▹

原文选自 META MATH！The Quest For Omega 第6章COMPLEXITY, RANDOMNESS & INCOMPLETENESS

作者：GREGORY CHAITIN（2006）

在第二章中，我向你展示了图灵的不完备性方法。现在，让我向你们展示我是如何做到这一点的......

我对本章的两个不完备性结果感到非常自豪！它们是AIT(算法信息论）皇冠上的明珠，是最好（或最差）的不完备性结果，是最令人震惊的结果，是最具破坏性的结果，是最具启发性的结果！此外，它们还是数字哲学观点的结果，这种观点可以追溯到莱布尼茨，我在第三章中也有描述。这就是为什么这些结果与哥德尔（1931）和图灵（1936）的经典不完备性结果如此惊人地不同。

不可还原的真理与希腊的理性理想

首先，我想向大家介绍一下 "逻辑不可还原性 （logical irreducibility）"这一非常危险的观点...

Mathematics：axioms → Computer → theorems

我们将在本章中看到，传统的数学概念是完全错误的：将事物简化为公理，压缩（compression）。不，有时这根本行不通。本章展示的不可还原的数学事实——Ω的比特/位数（the bits ofΩ）——无法从任何比它们本身更简单的原理中推导出来。

因此，关于证明之效用的普通概念于其而言乃失效的——证明，在这些情况下根本无济于事。简单的公理与复杂的结果才是证明的用武之地。但在这里，公理必须同结果一样复杂。那么，使用推理（reasoning）还有什么意义呢？

换一种说法： 数学的普通概念是在数学世界中寻找结构和规律，寻找理论。但理论意味着压缩，而这里不可能有压缩——在数学世界的这个特殊角落里，根本没有结构或规律。

既然没有压缩，就不可能理解这些数学事实！

总之...

When Is Reasoning Useful?

“Axioms=Theorems”implies reasoning is useless!

“Axioms ≪ Theorems”implies compression & comprehension!

如果公理的大小（size）同有趣定理（interesting theorems）的大小完全相等，那么推理是绝对无用的。但如果公理远小于有趣定理，那么我们就有了大量的压缩，因此也就有了大量的理解！

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