【SEP】数学与哲学虚构主义（二） (8-3)

巴拉格尔（2001，2009）认为菲尔德的形式主义观点不可能是正确的，他提出了一种非形式主义的替代观点。他反对形式主义观点的论证是，它不能解释我们在数学中发现的所有客观性。最重要的是，形式主义的观点意味着（不正确的），对于那些在目前公认的数学理论中无法决定的数学语句的真值问题，不可能有客观正确的答案。这里最著名的例子可能是连续体假说(CH)，在目前公认的集合理论中，例如泽尔梅洛-弗莱恩克尔集合理论(ZF)，它是无法确定的。(换句话说，ZF与CH和~CH都是一致的，即ZF+CH和ZF+~CH都是一致的集合论)。鉴于此，按照菲尔德的观点来看，无论是CH还是～CH都不是数学故事的一部分，因此，CH问题没有客观正确的答案。然而，这似乎是不可接受的，因为结果可能是数学家要发现CH题的客观正确答案。例如，假设某个数学家提出了一个新的公理候选者AX，这样(1)所有数学家都同意AX是一个关于集合的直观明显的主张；(2)ZF+AX包含CH。如果这种情况发生了，那么数学家们就会说他们已经证明了CH，而且他们已经发现CH是正确的，等等。菲尔德的观点将迫使我们说，如果我们认可AX，那么CH将成为数学故事中的真理。但这似乎把事情弄错了，考虑到AX的直观明显性，可以很自然地说，在这种情况下，数学家发现CH一直以来都是真的（或“正确的”，或在数学的故事中是真的，或不管我们想怎么称呼它），也就是说，它并不是我们通过认可一个新的理论而编造出来的。而且，这似乎又是数学家们会说的话。所以，巴拉格尔认为，菲尔德对数学客观性的形式主义观点是不可接受的。

巴拉格尔的非形式主义版本的虚构主义保留了菲尔德的论证，即数学的“正确性”与数学故事中的真理性有关，但它放弃了菲尔德的观点，即数学的故事由目前公认的公理组成。根据巴拉格尔的观点，所谓“数学的故事”包括这样一个论题：实际上存在着柏拉图主义者心目中的那种抽象的数学对象，即我们的数学理论所宣称的那种对象。因此，根据这种观点，当且仅当一个数学语句真的存在柏拉图主义者心目中的那种抽象的数学对象时，它才是虚构上的正确。巴拉格尔认为，如果虚构主义者采用这种观点，他们就可以避免上述菲尔德的观点中的问题，更一般地说，他们完全可以解决客观性问题，因为他们可以模仿柏拉图主义者关于客观性的一切说法。

2.3 革命主义和诠释主义（Revolutionism and Hermeneuticism）

对虚构主义的另一个反对意见是由伯吉斯（2004）提出的，应该指出，这里的论证源于伯吉斯（1983）和伯吉斯、罗森（1997）。这个论证可以这样表述：

虚构主义者面临着一个两难的选择：他们必须认可诠释主义虚构主义和革命主义虚构主义中的一个，但这两种观点都不可行。我们可以把诠释主义虚构主义定义为：数学家（也许还有普通大众）打算把他们的数学话语当作一种虚构的形式，更具体地说，这里的观点是：根据一般的数学意图，像“3”这样的单数语词不应该是指代，像“3是质数”这样的语句也不应该是真的。但是，诠释主义虚构主义是不可信的，也是缺乏动机的。它作为关于数学家意图的经验性假设，根本没有好的证据，而且它明显是错误的。另一方面，革命主义虚构主义是这样一种观点：（1）数学家并不打算把他们的语句当作虚构，或以任何其他方式当作非文字；（2）因此我们应该把数学家解释为真正断言他们的语句说了什么，即做出关于（或声称是关于）数学对象的断言； (3) 但由于不存在数学对象这种东西，数学家的论断根本就不是真的主张。但是，革命主义虚构主义也是不可信的。考虑到哲学家和数学家的记录，哲学家假定他们发现了数学的问题是“荒诞不经”的（伯吉斯, 2004, p.30）。

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