四象猜想 (5-5)

反对四色定理的人认为∶如果一个定理不能用手工进行检查，无法核实其证明是否可靠，就不能接受它是一个定理。计算机用了 1200个小时才证明了四色定理，这是用手工几代人也无法检查完的。事实上，在1961年，就有人声称借助于计算机找出了一个不可免完备集，其中的构形全是可约的（果然如此的话，四色猜想当然获证）。但是，惠特尼和塔特却各自独立地发现，有一个构形的可约性被计算机误算了，从而那个证明是错误的。事实上，自从黑肯和阿佩尔在 1976 年解决四色猜想之后，人们一直都在不断地从证明中发现一些错误，庆幸的是这些错误都可以被修正而不影响证明的全局。但是谁也无法保证，有一天不会从中找出一个致命的错误；机器中的硬件或软件的错误。这就是机器证明的可靠性问题。

但是，赞成四色猜想是一个定理的人却认为∶机器的可靠性主要是工程技术和物理学鉴定的事情，这是一门深奥的自然科学，它向我们保证，计算机的工作是可靠的，就象电子显微镜的工作是可靠的一样。

美国著名数学家瑟斯顿在《数学的证明和进展》一文中谈道：实际上，一个可以运作的计算机程序，其正确性和完备性标准比起数学界关于可靠的证明的标准要高出几个数量级。

关于四色猜想的计算机解决是不是数学证明的问题

不承认四色猜想的计算机解决是属于数学证明的人认为，没有一个数学家曾看到过四色猜想的证明，也没有一个数学家看到过它的证明的证据，没有数学家全面地验证过四色猜想的证明。如著名苏格兰数学家波塞尔在其文章《切合实际的数学观》一文中提到的：如果这样的一个问题（例如四色问题）利用某种聪明的新思想解决了，那是很了不起的。但是、如果解决的方法只是一个现存方法的反复使用，那就只能证明解决者的聪明罢了。如果解决的方法包括用计算机来证明特殊情况，那也是糟糕的，按我的观点，这样的解根本不属于数学科学。

不加验证地接受计算机给出的信息，还不如接受另一个数学家的告诫。事实上，例行公事似的编制程序十分乏味，极可能造成程序的错误。如果让部分论证隐藏在计算机的铁盒中，我们就不可能得到所认为的证明中的实质东西——我们自己对问题的了解。

1988年的纽约时报上还刊登了这样一篇文章：《没人能检验的证明算是数学证明吗？》。

赞成者认为，机器证明是有可靠性问题，但是，有的数学定理被数学家证明了，但过了几十年，人们又发现其证明是错误的，这说明人工证明也有一个可靠性问题。所以只对机器证明提出可靠性问题是不公平的。

而另一方面，电子计算机正越来越多地介入到数学中的各个领域里来。特别是近年在数学中的某些领域，有许多的问题如果不借助于大型的计算机，常常是无法解决的，如关于大数素性的检验、关于一个有限单群的构造性的证明等问题。

总之，围绕着四色猜想的计算机解决，人们提出了许多重大的问题∶技术上的和哲学上的。四色猜想的计算机证明之意义，决不仅仅在于一个历时多年的难题的解决。就从目前的趋势看，它很可能将成为数学发展史上一系列新思想的引子。分形几何的创立就是一个说明。

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