四象猜想 (5-4)

首先是美国数学家伯克霍夫。1913年他在肯普的基础上引进了一些新技巧，这促进了富兰克林于1939年证明22国以下的地图都可以用四色着色；1950年温（Winn）又把22国改进为35国；再接着是1968年奥尔（他是唯一的一本关于四色问题专著的作者）把数目提高到39国；1975 年又报道，对 52 国以下的地图四色猜想都成立。从时间上可以看出，四色问题解决的进展是极其地缓慢。其中一个一直难以解决的困难，是肯普证明中关于五个邻国时可约构形的判断问题。具体地说是如何把 4）中的情况分得足够细。

在四色问题的解决之路上，数学家H.希什也做出了很大的贡献。他从1936 年就开始对四色问题进行研究，且始终坚信四色问题可以通过寻找可约构形的不可避免组得到解决。到1950年他从不断的试验中猜测，如果把情况分细到可以证明的地步，则这个组里的构形可能需要大约一万多种情况才行。要对如此多的构形逐一证明，工作量之大是非人力所能完成的。恰逢电子计算机在计算速度、精确度等方面都得到了惊人的进展，希什敏锐地意识到，若把证明构形可约的方法形式化，在理论上有一部分是可以通过计算机解决的。于是他很快就试着利用人机结合去解决，这也是早期人工智能的一种尝试。

最初他与其学生是围绕着怎样用计算机检查图形是否可约构形进行的。尽管希什曾猜测可能要分一万种情况，可是谁也不知道是否真得需要有一万种，况且即使是对一种不太复杂的情况，若要检查也要用上百个小时，而对较复杂的情况，无论是在时间上，还是在存储上，计算机都不能承受。

美国伊利诺斯大学的黑肯教授在总结以往各种证法后指出，如果运用现有的一切数学方法，不可能给出四色猜想一个传统上的证明，而在还没有一个更强有力的计算机之前，能否给出一个计算机证明也是没有把握的。就在这样的信念下，黑肯对希什的方法作了重要的改进，接着是与阿佩尔合作着手研究四色问题。两人一方面从理论上继续简化问题，另一方面又利用计算机的试算和人机对话。从中获得有益的启示。后来二人连手设计了一个能做出特殊类型放电过程的计算机程序，并经过上机不断地反复试验、不断地修改，特别是在计算机专家科克的参与下，最后终于在1976年1月6日，由三人找到了一个合适的可行程序，证得了可约构形的不可避免组。于是百年来让人们苦苦思索的这个叙述简单明了的四色猜想，在IBM360机上运行达1200多小时后得到了证明。他们是利用"穷举检验"法分情况检查的，当时一共分了1482种情况，经查证它们都是可约构形。

四色猜想的证明是如此的繁复，尽管在 1977 年的一次数值数学与计算机会议上，有人又官布了一个相对简单的证明，可是也要用50机时。所以它不像数学中上其它问题的证明，获得数学家们的一致赞扬，而是引起了许多的争议。

争议‍

从四色猜想的解决过程可以看到，它是众多数学家合作的结晶，是对历史上智者探索的完善。阿佩尔等人是采用汇编语言编写程序解决了四色问题、其程序之复杂到如今都还有人时不时地检查出错误，虽然是不影响全局的；而且就目前的解决方法来看，其工作量之大是人力所永远无法达到的。面对四色问题的这种复杂的、又是借助于计算机的证明，人们给以各种各样的反应。正如国际上的数学家们所认为的，阿佩尔和黑肯等人的贡献并不在于证明了四色问题，而在于借用电子计算机完成了这个至今人还没有能够解决的问题。但是，也有一些数学家反对四色猜想已经成为一个定理，于是自然地就引发一场争论。这场争论的焦点集中在计算机证明的可靠性和四色猜想的计算机证明是不是数学证明的问题。

关于机器证明的可靠性问题

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