哥德尔对上帝存在的本体论证明 (4-1)

为方便阅读, 我把形式化了的哥德尔的本体论证明截图放在下面. 注意, 我在下文会用 □ 代替oldgoat的圆圈中有个点的符号(不会在Latex里打那个符号, 哈哈), 来表示模态逻辑中的必然算子：

Ax. 1. ∀φ∀ψ (P)φ) ∧ □∀x(φ(x)→ψ(x)))→P(ψ)

Ax. 2. ∀φ P(¬φ) ⇔ ¬P (φ)

Th. 1.∀φ P (φ)→♢∃x(φ(x))

Df. 1. G(x)⇔∀φ(P(φ))→φ(x))

Ax. 3.P(G)

Th. 2.♢∃xG(x)

Df. 2.∀φ φ ess x⇔φ(x)∧∀ψ(ψ(x)→□∀y(φ(y)→ψ(y)))

Ax. 4.∀φ P(φ)→□P(φ)

Th. 3.∀x G(x)→G ess x

Df. 3 E(x)⇔∀φ(φ ess x→□∃yφ(y))

Ax. 5 P(E)

Th. 4. □∃xG(x)

引用oldgoat老师对Ax.1和Ax.2的翻译：

翻译：Ax.1. 任意由积极性质衍推而来的（如严格蕴涵的）性质都是积极性质。

翻译：Ax.2. 一个性质是积极的，当且仅当其否定是不积极的。

我们证明Th.1.∀φ P(φ) → ◇∃x φ(x)，翻译： 所有积极性质都有可能存在例示(或: 所有积极性质都在某个可能世界被实例化)

证明：

我们采用反证法, 假设¬(∀φ P(φ) → ◇∃x φ(x)) , 根据经典逻辑可得: ∃φP(φ) ∧ □ ∀x ¬φ(x)，即"存在一必然无实例的积极性质". 为方便阅读, 我们把这个积极性质在接下来的证明里暂且叫做 φ .

所以对于任意语句ψ , φ(x) → ψ(x) 必然为真. 此时用 ¬φ 替换 ψ , 得到 φ(x) → ¬φ(x). 由于 φ 蕴含其否定, 所以 φ 和 ¬φ 同为积极性质, 与Ax.2.矛盾. 证毕.

此时我们再需要Df.1. 和Ax.3. 再次引用oldgoat的翻译(注意, 对于"类上帝的"这一性质的定义我们两个的不一样, 这个在文末会有说明.)

Df.1. x是类上帝的，当且仅当它的属性是所有积极的（positive）性质

Ax.3. 性质“类上帝的”是积极性质

此时我们可以证明Th.2.◇∃x G(x). 翻译: 可能存在(即在某个可能世界上存在)类上帝属性的实例.

证明：

因为性质“类上帝的”是积极性质, Th.1.中用G替换φ , P(G)使前件得到满足, 所以Th.2.得证.

现在引入Df.2.和Ax.4. 注意, 我这里的Df.2.跟oldgoat老师的Df.2.略有不同, 所以我的翻译是基于他的之上改动的. 至于不同的原因后面会说.

Df.2.φ 是x的本质属性，当且仅当，[[x是 φ 的一个实例]并且[对任意性质 ψ 而言, "x具有 ψ" 可推出如下: 必然地, φ 蕴涵 ψ ]]. 人话版本: φ 是x的本质属性, 定义为: x具有 φ , 并且x的所有属性都必然地是 φ 的后果.

Ax.4. 如果一个性质是积极的，那么它就必然是积极的

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