哥德尔对上帝存在的本体论证明 (4-2)

我们可以证明Th.3.∀x G(x) → G ess x. 翻译: "类上帝的"属性对于任何拥有这个属性的对象来说都是本质属性. 证明如下：

如果x具有类上帝的的属性, 那么根据Ax.2.和"类上帝的"的定义, x具有所有积极属性并且只具有积极属性. 此时根据Ax.4., x所具有的属性都是必然积极的. 则必然地, "类上帝的"这个属性蕴涵所有积极属性. Th.3.得证.

我们引入最后一条定义和定理：

Df.3. x必然存在，当且仅当x的所有本质属性都必然有例示

Ax.5. "必然存在"是积极性质

现在我们可以证明所要的定理, Th.4.□∃x G(x) . 翻译: 必然地, "类上帝的"性质有实例. 或: 在所有可能世界中都存在一个类上帝的对象. 证明：

根据定义, Th.2.♢∃xG (x). 即为 ♢∃x∀φ(P(φ) → φ(x)). Ax.5. 规定了P(E), 即"必然存在"是积极性质, 所以可能世界中的具有"类上帝的"性质的x也会具有"必然存在"这一积极性质. 也就是说：♢∃xG(x)∧∀φ(φ ess x → □∃yφ(y))，即在某个可能世界中存在一个类上帝的对象, 并且该对象的所有本质属性都必然地(在所有可能世界中)有实例. 注意, Th.3. 告诉我们"类上帝的"这一属性对于具有它的对象来说是本质属性, 也就是说Th.2. 中某可能世界里的类上帝对象的"类上帝的"属性在所有可能世界中都有实例. Th.4. 得证.

到了这一步, 上述证明已经确保了每个可能世界都存在一个类上帝的对象. 接下来我们证明这个对象是唯一的：

我们把结论中的x在某个世界中叫做j, 得出(在那个世界里)G(j) . 此时令 φ(x) 缩写 x＝j . 注意： x＝j 是j的一个性质, 同时因为j是类上帝的, 所以j有且仅有积极性质. 所以任何一个godlike being都会有 φ(x) 这个性质. 唯一性得证. 当然, 这个证明里用到了一些比较宽松的property abstraction principles和比较宽松的transworld identity principles.

下面是一些对这个证明的评价：

值得一提的是, 上面截图中所包含的证明并不是哥德尔手稿原稿中的证明, 而是Dana Scott做出微小修正之后的证明. 修改原因被不少人津津乐道: 哥德尔手稿原稿中的公理和定义是不自洽的(!). Dana Scott所作的修改在于对"本质属性"的定义上. 对比如下：

哥德尔原稿：

φ ess x ⇔ ∀ψ(ψ(x) → □∀y(φ(y) → ψ(y)))

Dana Scott修正：

φ ess x ⇔ φ(x) ∧ ∀ψ(ψ(x) → □∀y(φ(y) → ψ(y)))

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