哥德尔集合的原则

以下内容来源于王浩的《逻辑之旅》8.7节~

关于集合论公理的扩张有两个基本问题：一是引入集合论公理的原则是什么？二是为什么要引入这些公理？这么做的意义是什么？哥德尔关于第一个问题有比较详细的回答。

1972年，哥德尔关于第一个进行了概述，他讨论了引入集合论公理的五个原则：

1、直观视域：任何可以被“统观”的复多，都存在一个集合代表包含复多。这与康托尔对“集合”这个概念的理解一致。“直观视域”原则与数学实践和朴素的数学直觉相符合，例如我们有“ℝ 上全体连续函数”的直观，那么我们就可以将其视为一个集合。但是“统观的复多”并不是一个良定义的说法，它似乎蕴含了不加限制的概括公理，但不加限制的概括公理会导致悖论。（这里需要再做进一步解释，因为哥德尔认为有比集合全域更大的概念域，在这个概念域中，概括公理会有一些不同的性质。）

2、闭包原则：假设集合全域对某个运算封闭，那么存在某个集合也对该运算封闭。闭包原则最经典的例子莫过于不可达基数κ ： Vκ 对 ZF 的所有集合运算封闭。

3、反身原则：集合的全域无法被定义。最经典的例子是一阶集合论的反射原则：∀β∃α＞β(ф →фⱽα) 。反身原则可被视为闭包原则的概括。

4、外延化：翻译的原文是“像子集公理和置换公理那样的公理首先是用下定义的性质或关系来表达的。它们在应用于任意集合或外延性关联时被外延化了”。我承认我没读懂这段话的含义。我理解的是：ф 定义了一个性质或关系，将该性质或关系应用于某个特定集合 X 就可以得到一个新集合 Y 。这似乎只是在为子集公理和置换公理辩护。或许哥德尔的意思是， ф(→x) 定义了一个性质或关系 R(→x) ， R 作为一个类并不在集合宇宙 V 中，但当用特定的集合 X “实现” R 时，我们就能得到新集合 Y 。

5、集合全域的齐一性：我们可以将小的无穷的性质推广到大的无穷，例如弱紧基数、拉姆塞基数、可测基数就是将ω 的组合性质推广到不可数无穷后得到的。

哥德尔认为所有集合论公理都应该建立在“绝对者不可知”的基础上，为此他使用了“阿克曼原则”来解释这句话。阿克曼原则引入了常元V ，也就是通常意义上的集合论宇宙，令 y∈V 且 F(x，y) 是一个不含 V 的开语句，那么 ∀x (F(x，y) → x∈V) 蕴含

∃z∈V∀x(F(x，y) → x ∈ z) 。

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