卡尔纳普与非直谓定义 (4-2)

通过将归纳数的定义中出现的全称量词解释为指称“特定的一般性”，卡尔纳普实际上将对于lnd x 的验证给语法化了。比如说，如果我们还是想确认 lnd 2 的真伪，即“2是否是归纳的”，我们需要做的就是证明 ⊢ Her f∧f(0) → f(2).也就是说： f 在这里彻底成为了一个单纯的符号，它在此处的意涵并不是方程中的变量 x ，而是逻辑中作为合式公式的变量 x 。验证 lnd 2 因此被转化成了一次简单的语法练习。首先， lnd 0 显然成立： Her f∧f(0) 当然能够推出 f(0) 。注意到 Her f 实际上指的是 ∀n(f(n) → f(n＋1)) ，再结合 ∀n(f(n) → f(n＋1)) ⊢ f(0) → f(1)，我们就有 Her f∧f(0) ⊢ f(1).重复一遍同样的步骤即可得到 lnd 2 。

卡尔纳普的解答是否令人满意呢？不见得。逻辑主义者对于“归纳数”定义的普遍反感说到底来源于其定义方式；这种担忧的动机其实是本体论的。如卡尔纳普在前文中概括的那样，逻辑主义的目标主要有两个：一，将一切数学概念从逻辑中导出；二，将所有数学定理以纯粹的逻辑方法从逻辑公理导出。尽管这两个目标共同指向“将一切数学归约为逻辑”的终极任务，但它们终究是两个不同的句子。这种区分本身就暗含了逻辑主义者的存在观：数学概念与数学定理是两种不同的东西，前者是逻辑构造，而后者是关于数学概念的语句。更进一步，对于数学概念，除了最为基本的几个概念没有明确的逻辑构造之外，其他所有概念都应该用其存在已被清晰地确立的逻辑构造显式定义。即：定义式的意义就在于用等式右侧的、本体论上明白无误的对象通过等号的“神圣作用”让等式左侧的、本体论上仍然可疑的对象也获得这种存在的明晰性。[2]正如卡尔纳普所说，这样的构造主义倾向让逻辑主义者——起码就对于数学对象的态度而言——更接近直觉主义者。也正是这种对存在清晰性的追求让罗素反对非直谓定义的恶性循环：一旦我们允许用一个概念自身来定义它自己，定义式右侧就不是完全确定的逻辑存在了：它被等式左侧仍然可疑的对象给污染了；又或者：等号本身的神圣性被侵犯了。

另一方面，关于数学定理，逻辑主义者反而与形式主义有着更强的亲缘性：

逻辑主义主张以这样的方法构建逻辑-数学系统：虽然在选取公理及推理规则时是把原始符号的一种解释放在心上的，但是在这系统内，演绎及定义的链条却如同在纯粹演算中一样，是形式地贯穿起来的，就是说，并不参照原始符号的意义。

我们应当注意到，卡尔纳普将这种方法论上的相似性甚至推广到了定义的层面。这似乎正当化了他对于归纳数概念的语法化阐释，因为根据他的说法，形式化本就是逻辑主义的正统方法论，在定义上也是如此。他在此之前为非直谓定义所做的辩护也的确遵循这个逻辑：尽管罗素认为允许非直谓定义必然会（在使用中）导致二律背反——在原本的语境下可能是个语法概念——但事实不一定如此。起码，我们无法从任何根本性原则中推出二律背反的必然性。而事实上，在大部分情况下，非直谓定义的确没有在逻辑上出问题，比如实数的概念就让所有人爱不释手。又比如先前提到的归纳数概念，它就算让罗素抓狂，也还是能达成它原本的功用，即：所有自然数的确都可以被证实是归纳的。下面是他的原话：

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