卡尔纳普与非直谓定义 (4-1)

PeaneAuioms

PA1 1∈N

PA2 ∀n∈N[n'∈N]

PA3 ∀n∈N [n' ≠ 1]

P4 ∀m∈N ∀n∈N [m'＝n' ⇒ m＝n]

PA5 (P(1)∧ ∀ k∈N[P(k) ⇒ P(k)]) ⇒ ∀n∈N [P(n)]

在《数学的逻辑主义基础》[1]一文中，卡尔纳普提及非直谓定义时举了一个颇具典范性的例子，以此说明其对于逻辑主义的严重威胁。具体如下：称一个性质为“遗传的（hereditary）”，如果它一旦属于数 n 就必然属于数 n＋1 。在此基础上，“归纳数（inductive numbers）”被定义为具备0的所有遗传性质的数： lnd x：＝∀f (Her f∧f(0) → f(x)).

上述定义的危险之处在于，定义式右侧的全称量词的作用范围是一切性质 f 。也就是说，定义中的 f 甚至可以是 lnd 本身，从而导致一种隐秘的循环性，使得被定义的概念被潜在地包含于用以定义它的逻辑结构中。所以该定义显然无用，因为我们在用一个东西定义它自身——这就是为什么罗素将诸如此类的非直谓定义称为“恶性循环”。

卡尔纳普在这里给出了上述循环性的具体表现。据他说，“人们有时声称”，只要随便带入一个数就能清晰地看到非直谓定义的荒谬。比如，假设我们想确认2是不是归纳数，那么我们就需要检查是否所有性质f 都满足全称量词范围内的公式。在此过程中，因为 lnd 也是 f 的一个具体实例，我们就肯定会在某一时刻找上它。所以，为了检验 lnd 2 是否成立，我们就迟早需要将 lnd 代入右侧的式子，依次检查 lnd 是不是遗传的、它是否属于0、以及最重要的： lnd 2 是否成立。

这最后一点，毫无疑问，造成了不可逾越的困难。罗素最终不得不通过繁琐的分支类型论回避诸如此类的非直谓定义，却因此丢掉了几乎整个实数王国：大部分实数甚至都不能以非直谓的方式表达。这样的惨痛代价让他的学生拉姆齐最终通过一种类似柏拉图主义的“神学数学”直接允许非直谓定义（因为数学性质的存在无关乎我们的认知，所以我们的定义方式并不会影响到概念本身，等等）来绕开所有的问题。对于这两种做法，卡尔纳普都不赞同。他希望通过某种方式“获得拉姆齐的成果却不陷入他的概念绝对主义。”为此，他重新审视了对于给定x 的 lnd x 的验证过程：问题就出在“检查每一个单一的性质”这一步上。只有在我们认为我们“必须”这么做时，我们才会碰到“不能击破的循环”，才会“一头撞上‘归纳的’这个性质”。在卡尔纳普看来，这种信念实在没有什么必然性：

……因为非直谓定义通常涉及无限总体，所以证实一个全称的逻辑或数学语句并不在于遍及一系列个别的情况。对必须遍及所有个别情况的信念，是由于混淆了指称已给定对象的“数值”的一般性与“特定”的一般性。我们并不通过遍及个别情况，而是通过从另外一些性质中逻辑地推导出某些性质来确立特定的一般性。

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