集合论公理解决【罗素悖论】一 (7-5)

随着新世纪的到来，康托尔的工作渐渐开始被人们接受了，被认为是对整个数学，特别是对分析学基础的一个重大贡献。但是对于这个理论，不幸的是同时开始出现了仍然影响着它的悖论和自相矛盾。这些可能最终是康托尔的理论注定要对数学作出的最大贡献，因为它们在围绕无穷的逻辑和数学推理的基础中意想不到的存在，促进了现在在整个演绎推理中的批判运动。

康托尔最惊人的结果是在不可数集论中得到的，不可数集最简单的例子是一段线段上所有点的集合。在这里只能谈谈他的最简单的结论之一。与直观所能预测的相反，两个不等长的线段包含着同样数目的点。我们不难看出康托尔这个结论的合理性。如下图放置不等长的线段AB，CD。线段OPQ交CD于点P，交AB于Q；这样，P和Q就配成对了。当OPQ绕0旋转时，点P在CD上移动，同时Q在AB上移动，CD上的每一个点有且仅有AB上的一个点与之“配对”。

o

c p

D

A Q B

可以证明一个更出乎意料的结果。任何线段，不管多么小，都包含着与无限长的直线同样多的点。进一步，线段包含的点，与在整个平面或整个三维空间或整个n维空间中的点同样多（这里n是大于零的任意整数）。

这里，我们还没有试图去定义一个类或一个集合。然而现在的争论似乎要求给出某种清楚的、自洽的定义。一个集合是由3个特性表示其特点的，

1. 它包含着具有某种确定性质（比如说红色，或体积，或味道）的一切事物；

2. 没有这个性质的事物都不属于这个集合；

3. 集合中的每一个元素都可以被识别出是与集合中的其他事物相同还是不同。集合本身可以作为一个整体来把握。

在这一点上，我们可以回顾一下整个数学史，并注意在几乎全部数学论著中不断反复出现的两种表达方式。一类是“我们能找到一个大于2的整数”，或“我们能选择一个小于n、大于n-2的数”这样的表达。与此有明显区别的是在数学写作中一再出现的另一个习惯用语“存在”。例如，“存在一个大于2的整数”，或者“存在一个小于n，大于n-2的数”。对于出现在康托尔理论中的集合（如上面定义的），存在是不能证明的。

这两种说话方式把数学家分成两类，

• 说“我们能”的人认为（也许是下意识的）数学纯粹是人的发明；

• 说“存在”的人认为数学有它自己的超出人以外的“存在”，我们只能在我们的人生旅途中偶然发现数学的“永恒真理”，这很像一个人在一座城中散步，遇到许多街道，而他与这些街道的规划没有任何关系。

以“存在”方式来看待集合论的一个重要的例子，是由著名的策梅罗公设（公理）提供的。

对于其元素是一些集合P的每一个集合M（也就是说，M是一些集合的一个集合，或是一些类的一个类），这些集合P不空且不相交（即没有两个集合包含共同的事物），至少存在一个集合N，它恰好包含构成集合M的每一个集合P中的一个元素。

比较这个公设与前述集合（或类）的定义表明，如果集合M包含比如说无穷多条不相交的线段，说“我们”的人不会认为这个公设是不证自明的。然而这个公设看来是相当合理的，但证明它的企图都失败了，而它在一切与连续有关的问题中都相当重要。

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