集合论公理解决【罗素悖论】一 (7-6)

这个公设是怎样被引进到数学中的？这将引出康托尔理论的另一个尚未解决的问题。一个有互不相同的可数的元素的集合，就像一堵墙上的所有砖头，能够很容易地排出顺序；我们只需要按1，2，3，…数遍它们。

但是我们怎样给直线上所有的点排序呢？毕竟，直线上的任意两个点之间“我们能找到”或“存在”该直线上的另一个点。如果我们每一次数墙上相邻的两块砖，墙上就又有另一块砖出现在它们之间，我们的计数就混乱了。然而直线上的点看来确实有某种顺序，因为我们能说出一个点是在另一个点的左边或是右边。为一条直线上的点排序的努力没有成功。策梅罗提出了他的公设，以使这种努力更容易一些，但是它本身还没有被普遍接受为一个合理的假设。

回到康托尔理论上。是否“存在”或者我们能否“构造”一个集合，它既不相似于所有正有理整数的集合，又不相似于直线上所有点的集合？答案是不知道。

我们已提到过弗雷格，他把“相似于一个给定类的所有类的类”定义为这个给定类的基数。弗雷格花费多年的时间，试图把数的数学置于可靠的逻辑基础上。他毕生的著作是他的《算术的基本法则》，第二卷以下面的致辞结束∶

一个科学家几乎不能碰到比这更难堪的事情了，即正当工作完成时，它的基础却垮掉了。当这部著作行将印完时，伯特兰·罗素先生的一封信就使我处于这样的境地。

罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。这个集合是自己的元素吗？稍微想一想就能推敲出，不论哪种答案都是错误的。罗素提出他的“循环论证原理”作为一种补救办法∶“涉及一个集合的所有元素的任何东西，必非该集合的元素”。

为了让数学走出这一困境，希尔伯特和布劳威尔致力于把数学推理置于合理的基础上，尽管他们的方法和哲学在几个方面是极端对立的。

希尔伯特

希尔伯特向希腊寻找他的数学哲学的起源。他重新开始了毕达哥拉斯的计划，即给定一组严格而充分确定的公设（公理），一个数学论证必须按照严格的演绎推理从这些公设开始。希尔伯特使数学的公设发展纲要比希腊人的更精确，并于1899年出版了他关于几何基础的经典著作的第一版。希尔伯特的一个要求是，为几何提出的公设应该被证明是自洽的，而希腊人似乎没有想到过这个要求。为了对几何作出这样一个证明，他指出由这些公设发展出来的几何中的任何矛盾，都隐含着一个算术方面的矛盾。这样，问题又回到证明算术的一致性，一直到今天。

因此我们再次退回，询问“数”是什么。戴德金和弗雷格两人都把目光投向了“无穷”，戴德金以他的无穷类定义无理数；弗雷格以他的相似于一个已知类的所有类的类定义基数。希尔伯特也到无穷中去寻找答案，他相信，无穷对于理解有限是必需的。他强烈相信，康托尔体系最终会从炼狱中解放出来，

在我看来，这（康托尔）是数学思想的最令人赞美的果实，确实是人类智力活动的最高成就之一。没有人能把我们逐出康托尔为我们创造的乐园，

布劳威尔

在希尔伯特兴奋得意的时刻，布劳威尔出现了，他说，用希尔伯特提出的保证免除矛盾的公设的方法完成了它的使命——没有产生矛盾，但是，用这种方法不会得到任何有价值的东西；一个错误的理论，即使没有因矛盾而告终，也仍然是错误的。

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