集合论公理解决【罗素悖论】一 (7-4)

在这个阶段，一个头等重要的问题出现了，一个集合或一个类是什么呢？试想所有正有理整数的集合，问你自己，你是否能在你心里把这个全体当做一个确定的思考对象，就像三个字母的类x，y，z一样容易理解。为了领会康托尔所创造的超穷数，他要求我们做的正是这件事。

现在我们继续讲“基数”的定义，如果两个集合或类的元素能够一对一地配对，就说它们是相似的。在集合（x，y，z）中有多少元素呢？显然是3个。但是“3”是什么呢？下面的定义给出答案

一个给定类中的事物的数目，是相似于该给定类的所有类的那个类。

这个定义是1879年由戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）提出的，1901年又由罗素再次提出来。它有一点优于“类的基数”的其他定义，即它既可以应用于有限类，又可以应用到无穷类。

康托尔的“所有代数数的类相似于所有正有理整数”这一惊人结果，只是无穷类的许多完全意想不到的性质中的第一个。

例如考虑超越数的“存在”。人们怀疑当n趋于无穷时，由

1 1 1

1＋──＋── · · · ＋─ – logn

2 3 n

的极限所决定的数是超越的，但是我们无法证明它。

超越数不是任何有理整数系数代数方程的根。

自然而然地，你会问提出了一个问题∶有多少超越数？它们比整数、有理数或全体代数数更多呢，还是更少呢？根据康托尔的定理，整数、有理数和全体代数数的数目相等，这个问题就归结为∶超越数能用1，2，3，…遍历（编号，数遍）吗？所有超越数的类（集合），相似于所有有理整数的类吗？答案是否定的，超越数比整数多得多（多无限多）。

如果一个类（集合）相似于所有正有理整数的类，就说这个类是可数的。一个可数类中的元素能够用1，2，3，…数遍；一个不可数类中的元素不能用1，2，3，…数遍，不可数类中的元素比可数类中的事物多。不可数类存在吗？康托尔证明了它们存在。事实上，在任何线段上的所有点的类就是不可数的，不论这个线段多么小。

由此我们可以知道，超越数为什么是不可数的。我们知道，任何代数方程的任何根，都能用笛卡儿几何的平面上的点表示。所有这些根组成了所有代数数的集合，康托尔证明了这个集合是可数的。但是如果在单独一个线段上的点是不可数的，那么可以推知在笛卡儿平面上的所有点同样也是不可数的。代数数点缀在平面上，就像星点缀漆黑的夜空，而稠密的黑色就是超越数的天空。

关于康托尔的证明，最值得注意的是，它没有提供哪怕是构造一个超越数的方法。根据克罗内克的看法，所有这些非构造性的推理都是不合逻辑的。

由于康托尔在他的无穷类理论中的推理大多是非构造性的，克罗内克把它看作一类危险的数学疯狂。因为克罗内克看见数学在康托尔的领导下走向疯人院，同时也因为他狂热地致力于他所认为的数学真理，所以他用手边的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“实在的无穷理论”和康托尔，而这悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。

1884年春，康托尔在40岁时经历了他的第一次精神崩溃，从而进了精神病诊所。一阵阵深深的沮丧使他在自己眼里都感到自卑，他开始怀疑他的工作的正确性。他关于无穷的正确理论的一些最好的工作是在两次发作的间歇期内完成的。当他从发病中康复过来时，他的头脑特别清醒。

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