集合论公理解决【罗素悖论】一 (7-3)

1874年这篇开拓性的论文有着建立起所有代数数集合的一个完全意想不到的、高度似非而是的性质。如果r满足一个有理整数（普通整数）系数的n次代数方程，而且如果r 不满足次数小于n的这样的方程，那么r就是一个n次代数数。

这可以推广。因为很容易证明一个类型为，

c₀xⁿ＋c₁xⁿ⁻¹＋· · ·＋cₙ₋₁x＋cₙ＝0

其中c_i是任意已知代数数的方程，它的任何一个根本身就是代数数。例如，按照这个定理，方程

(1 – 3√–1)x² – (2＋5√17)x＋³√90＝0

的所有的根都是代数数，因为系数是代数数，第一个系数满足

x² – 2x＋10＝0

第二个系数满足

x² – 4x – 421＝0

第三个系数满足

x³ – 90＝0

这样，方程的次数分别是2，2，3。想象所有代数数的集合。这些数中，

• 有所有的正有理整数1，2，3，…，因为它们中的任意一个，比如说n，满足代数方程x-n=0，方程中的系数（1和-n）是有理整数。

• 但是除这些以外，所有代数数的集合还包括所有有理整系数二次方程的所有的根，所有有理整系数三次方程的所有的根，等等，以至无穷。所有代数数的集合应比其有理整数1，2，3，…的子集多包含无穷多个元素。

这在直观上不是很明显吗？它可能确实是明显的，但它恰恰是错的。康托尔证明了，全体有理整数的集合与所有代数数的集合含有同样多的元素。康托尔用“一一对应”的方法证明了这一集合理论，这一方法显示了数学家与哲学家之间在关于"数"或"量"问题上的态度差异。

数学家从来不用量本身去定义量，而哲学家会这样做；数学家定义量的相等、它们的和及它们的积，这些定义决定了量的全部数学性质。数学家甚至以更抽象、更形式化的方式，制定了符号，同时规定了符号所要遵守规则；这些规则足以表示这些符号的特性，给予它们数学意义。数学家用任意的约定来创造数学的实体。并不是所有的数学思想学派都同意这种做法，但是它们至少提出了对下述的基数定义的一种哲学。

当两个集合中的所有元素都能一对一地对应起来时，就说这两个集合有同样的基数。

例如，集合（x，y，z）和集合（a，b，c）有同样的基数，因为我们能够把第一个集合中的x，y，z与第二个集合中的a，b，c配对。再有，如果有20对已婚夫妇坐在一起进餐，那么丈夫的集合就与妻子的集合有同样的基数。作为这个同样"明显"的另一个例子，我们想起了伽利略的全体正整数平方的集合和全体正整数集合的例子，

1²，2²，3²，4²，· · ·，n²，· · ·

1，2，3，4，· · ·，n，· · ·

仔细想一下，如果剔除自然数中所有的平方数，那么剩下来数的个数的恰好与原来的一样多。不管我们喜欢与否，这个赤裸裸的奇迹就出现在我们面前∶一个集合的一部分可以与整个集合有同样的基数。直觉已经被大大高估了。直觉是一切迷信的根源。

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