集合论公理解决【罗素悖论】一 (7-1)

1831年，高斯表达了他对“实无穷”的恐惧，

我反对把无穷量作为一个完全的东西来使用，在数学中决不允许有这样的用法。无穷只是一种说话的方式，其真正的意义是指某些比值无限地趋近的某个极限，而另一些比值则可以无限制地增大。

康托尔既同意又不同意高斯的观点。他在1866年写到实无穷时说，

尽管在潜无穷和实无穷之间有本质的差别，前者意味着一个增加到超出所有有限限制的可变的有限量，而后者是一个超出所有有限量的固定的常量，只是它们太经常地被混淆了。

康托尔坚持认为，对实“无穷”的不加鉴别的否定，就是对事物本性的违背。1901年，罗素说，

芝诺关心过三个问题——无穷小、无穷大和连续……·魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底解决了它们。这个成就可能是这个时代能够夸耀的最伟大的成就……无穷小的问题是魏尔斯特拉斯解决的，其他两个问题的解决是由戴德金开始，最后由康托尔完成的。

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Lud-wig Philipp Cantor）

康托尔的天才很早（在15岁以前）就得到了承认，对数学研究有一种着迷的兴趣。1862年康托尔在苏黎世开始了他的大学生活。次年，他转学到柏林大学。在柏林大学，他专攻数学、哲学和物理。他的数学指导教师是库默尔、魏尔斯特拉斯和克罗内克（学术之敌）。

在柏林，康托尔深入钻研了高斯的《算术研究》，写出了他的博士论文，1867年获得了博士学位。他的论文讨论高斯留下的关于不定方程

αx²＋by²＋cz²＝0

的x，y，z整数解的难点，其中a，b，c是任意已知整数。康托尔最早钟爱的是高斯的数论。在魏尔斯特拉斯的影响下，他不久就另辟蹊径，从这一理论进入到了严格的分析中，特别是三角级数（傅里叶级数）的理论中。

这个理论难以捉摸的困难，激励了康托尔更深入地研究分析的基础，这样就导致他对无穷本身的数学和哲学问题进行全面的研究，而这是关于连续、极限和收敛等全部问题的基础。康托尔在快满30 岁时发表了他的第一篇关于无穷级数的革命性论文。康托尔在这篇论文中建立的关于全部代数数的集合，显示出他是一个见识独到、极具创造性的数学家。

1874年，康托尔29岁时发表了他关于集合论的第一篇革命性论文，同年与瓦利·古特曼结婚，生了两个儿子和四个女儿。这一对年轻夫妇在因特拉肯度蜜月时，常和戴德金交往。戴德金也许是当时唯一试图认真地了解康托尔的颠覆性学说的一流数学家。

Ueber eine Eigenschafi des Inbegriffes aller reellen

algebraischen Zahlen.

(Vos Berrs Cauor in Halle s &.)

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Uoter eioer reelles slgetesiachen Zabd wind aillgemein eise rmelle

Zablgrose a vervtasden, welcbe einer nicht identiscben Gleicbung von der

Porm gengt：

〈l.〉α₀ ω*＋α₁ ωⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ＝0

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