数学思想【现代语言】——集合论 (6-5)

1908年以来，先后问世的集合论公理体系不下十余家，但以ZF(C)公理体系和NGB公理体系最为流行。NBG公理体系采用“集合”、“类”、“集集间与集类间的属于”作为原始概念（集是类，但类未必是集，不是集的类叫做真类），从而允许某些有一定用处的“怪集合”——真类成为数学的研究对象，又能保证相应的悖论不会在系统中产生。下面重点介绍ZF(C)公理体系中的公理。

ZFC公理体系是由“集合”和“属于”这两个原始概念和下述七条公理所组成：

1. 外延公理

2. 置换公理

3. 并集公理

4. 幂集公理

5. 正则公理(基底公理)

6. 无限公理

7. 选择公理

对于选择公理，很多数学家对于把它作为一条公理持反对或保留态度，因此习惯上又用ZF公理体系表示只包含前六条的公理系统。

集合论的基础地位

集合论是现代数学大厦的基石。集合论作为一种统一的力量，它给所有数学分支以一个公共的基础，给它们的概念带来一种新的清晰和准确性，集合论语言已经成为全世界数学家表达和领会的公共用语。

集合论的基础性地位表现在：

1. 集合是数学的基本对象

• 现代数学各分支对象本身是具有某种特定结构的集合。比如，代数中群、环、域、体、代数等等概念的定义都是这样的格式：“××是这样的集合，其上有运算××，这些运算满足××定律”。

• 空间 有修饰词——特殊的集合；无修饰词——泛指集合；

• 结构 是指遵从一些公理的集合和映射所组成的系统。序结构、代数结构、拓扑结构三种基本结构；（布尔巴基学派）测度结构；

• 系统 指特定的集合，如图灵机。

2. 整个数学建立在集合论基础上

许多现代数学理论的发展是以集合论作为其前提的。例如，没有集合论，就不会有近代的测度论，也就不会有实变函数；在代数中，近世代数讨论的是具有某些结合规律的元素系统的构造，它不仅以集合论概念作为其基础，而且还渗透了集合论的许多思想方法。近代数学的抽象空间理论，也无非都是具有各种特殊结论的无限集。拓扑学的发展，必不可少地依赖于集合论的方法。

3.集合论提供了现代数学的基本语言

所有数学概念都可以在集合论的范围内形式地加以定义。也就是说所有数学概念的精确定义都要建立在集合论的基础之上。事实上，在数学中，除了以实数认识为背景的集合论及其发展成的公理集合论是直接研究集合的外，一般都是研究其引伸概念，或说是加了某种（公理）限制的集合。如中学数学中研究的各种对象都可以看作集合。

• 数——数集；

• 几何图形——点集；

• 大于、小于、等于、平行、垂直等关系；

• 函数——点集（图象）；

• 集合我们可以构造出所有其他数学概念和对象（集合本身并没有“顺序”的含义，但用它却可以形式地定义“有限序列”，即能构造得到“顺序”的模型）有序对( a, b ) = ( c, d ) ↔a = c且b = d

• 许多涉及数学基础的根本性问题都可以归结为关于集合论的问题。如数学理论的相容性问题。

• 被用来论证数学理论中关于数学对象及其属性的存在性的假设，如自然数公理的存在性。

集合论作为语言工具

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