数学思想【现代语言】——集合论 (6-4)

“罗素悖论”（Russell‘s paradox）

广义的悖论（paradox ），也叫佯谬，它指的是“它是当从显而易见的前提出发，导致一个矛盾而产生的。广义地说，当结论并不是一个矛盾，但它与一般观念或直观知识激烈冲突时，即为悖论。”数学悖论，指的是一种导致逻辑矛盾的命题。

罗素悖论是集合论悖论中最有名的一个，由罗素1901年提出，它说明了Cantor的集合论是自相矛盾的。罗素悖论从集合论的基本概念着手，它如此清晰，几乎没有辩驳的余地。这样，连同无限集合是否合法一起，Cantor的方法和演绎是否有效的问题再次被提出来了。

罗素把所有不含有自身的集合构造为一个新的集合S。形式地，S:= {A: A∉A} （∗）现在问S是否含有自身？（即S∈S ？S∉S）若S∈S，那么根据S的定义(∗)，S不是S定义（∗）中的A，即S∉S，得到矛盾；若S∉S，那么根据S的定义(∗)，S是S定义（∗）中的A，从而S∈S，同样矛盾；即不管是S∈S 还是S∉S都会导致矛盾，即出现了悖论。

罗素悖论有很多接近现实生活的一些版本，它们对普通人（non-logicians ）来讲更容易理解一些。罗素悖论著名的“通俗版”——理发师悖论（Barber paradox ）从前有某村有一个理发师，他宣称为村里所有不为自己刮胡子的人刮胡子，现在问他该不该给自己刮胡子？

公理化集合论

现在大多数数学家认为，集合论悖论的出现，原因在于利用概括原则造集的任意性太大，因而立足于修改概括原则，对集合加以适当限制，只允许那些看来不大会产生矛盾的类进入集合论，从而防止了过大集合的产生。由于集合论悖论的出现，人们感到有必要回到建立欧几里德几何的方法，把“集合”作为原始概念，用一套适当的公理来规定他们的使用，也就是采用公理化的方法，以期达到既能消除悖论产生根源，又能尽量保留朴素集合论巨大成果的目的。

1908年，策梅罗(E.F.F.Zermelo)提出了集合论的第一个公理化系统，这个系统后来经过弗兰克（AdolfFraenkel）和斯科伦（ThoralfSkolem）等人的补充和加工，形成了ZF公理体系(Zermelo-Fraenkelaxiomatic set theory )和ZFC公理体系 (Zermelo-Fraenkelaxiomatic set theory with the axiom of Choice) 。由于ZFC公理体系含有公理模式（指置换公理），从而它不是一个有限公理化的系统。1925年，冯⋅诺伊曼(John von Neumann)给出了另一套不包含公理模式的公理系统，后来经过伯内斯 (P.Bernays) 、哥德尔(Kurt Godel)等人的改进和简化，形成了 NBG公理体系(Neumann-Bernays-Godelaxiomatic set theory)或GB公理体系(Godel-Bernaysaxiomatic set theory)。这样集合论公理化后，罗素悖论中的集合S，在ZFC公理体系中就不再是集合，而在NBG公理体系中它成为了一个真类。公理化集合论能排除至今已经出现的那些悖论，但尚不能保证在这系统中永不出现新的悖论，因为公理系统的无矛盾性并没有被证明。对此，庞加莱(Poincare)评论说：为了防备狼，羊群已用篱笆围起来，但却不知道在圈内有没有狼。（通俗来讲就是发现系统漏洞然后针对漏洞打补丁）

集合论公理

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。