数学思想【现代语言】——集合论 (6-3)

集合论的建立引起了数学中无穷观的一场革命。康托尔认为，在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能的，实无穷必须肯定。很多最基本的数学概念，如一切正整数，圆周上的一切点等等，事实上都是实无穷的概念；关于极限理论，康托尔指出：它是建立在实数理论之上的，而实数理论的建立（无理数的引进）又必须以这样或那样的实无穷的概念为基础，例如，戴德金分割和康托尔的基本序列都是一种实无穷的概念。极限理论事实上也是建立在实无穷的概念之上。因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷。变量如能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取值域，而这个域就是一个实无穷。

康托尔的实无穷观点，肯定了无穷是某种完成了的确定的东西，是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西。

• 把无穷看成完成了的确定东西的整体，从而构成集合。

• 康托尔在集合论中，对无穷概念作了精确的数学表述，揭示了无穷集合的本质特征：无穷集合的部分等势于整体。

• ”势“的概念的引入，使康托尔有了确定同一等级或者同一层次的无穷集合的尺度。实数不可数的证明揭示了实数连续统和有理数集之间实质性的差别，即实数集与有理数集是两个不同层次的无穷集。不同等级的无穷集合的发现，使康托尔对无穷的认识大大地加深。以往人们总认为只有有限才是可把握的、有层次的，而无限至多只是一个模糊的记号，现在康托尔却把无限象有限那样地分出了层次，使得它容易把握。

• 他特别是将超穷数定义为具有某种特征的无穷集合，对这些超穷数象自然数那样建立了它们的理论体系，使得无穷作为一个实体能比较大小和参与运算，从而成为数学的研究对象。

康托尔的无穷观集中反映了他的数学观：数学的本质不在于它与经验世界的联系，而在于数学思维的自由性。

他引进了两种真实性的概念。

“内在真实性”指数学对象在逻辑上的相容性“外部真实性”指数学对象所具有的客观实在性；他认为，数学对象的两种真实性事实上是一致的，一个概念如果具有“内在真实性”就必然具有“外部真实性”。因此，对数学家来说，就只须考虑数学对象的“内在真实性”即逻辑上的相容性，而无须考虑它们的客观内容。从而在数学对象的创造中，数学家具有充分的自由。这正是现代数学的一个特征。

朴素集合论与第三次数学危机

十九世纪末提出的集合概念，后来被证明为数学中最基本、最有用的观点之一，集合论成为现代数学的理论基础。借助集合论，严格的实数理论和极限理论都可以建立起来，“……数学已被算术化了。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了”。（庞加莱 Poincare，1900年巴黎国际数学大会）数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。但不久人们就发现，从Cantor的朴素集合论中可引出一系列悖论。由于集合论在整个数学理论中的基础地位，集合论悖论的发现使人们对整个数学理论的正确性产生了怀疑。更重要的是，由于引出悖论的方式又与集合论中以至一般数学中一些最常用的论证模式并无不同，数学推理的严密可靠性也被怀疑了，从而触发了数学史上的第三次危机。

关于”悖论产生的原因及数学推理的本质是什么“的大辩论，促使一个新的领域——数学基础于20世纪初形

成发展起来。在这场大论战中，逐渐形成了以为罗素 (Russell)代表的逻辑主义，以布劳威尔(Brouwer)为代表的直觉主义和以希尔伯特(Hilbert)为代表的形式主义三个学派。

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