数学思想【现代语言】——集合论 (6-2)

• 集合是抽象思维的产物。在集合论中，集合被用来表示抽象事物的聚集。而从认识论角度上看，集合本质上又可视为描述人脑对客观事物进行识别和分类的一种抽象方法。正是由于这种方法的普遍性，使得集合成为数学抽象最有力的工具。

康托尔的集合定义(Cantor,1874)：

• 从集合的定义来看，集合、元素都是泛指，或说是抽象的，因此，不仅数、点、形，世界的各种事物无不可以按某种属性或关系的比较加以类聚。数学可以舍弃这些类聚事物的质的规定性，而使用各元素的集合对不同事物群的结构共性给予抽象、概括。

• 从集合观点看，数学概念都可以看成集合，因此，数学概念都可以用集合来表述，用揭示概念外延的方式定义概念实际上就是给出集合的元素，用揭示概念内涵的方式定义概念实际上就是给出集合中元素所满足的性质。

• 不论哪一门数学，开宗明义，总得有自己的研究对象，这些研究对象就形成一个集合或一些集合。因此，每门数学都用得上集合论。

• 集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。把一般的集合作为现代数学的研究对象，就能将数学的各个不同领域统一起来，成为各个数学分支的基础，同时也极大地扩大了数学的范围。

因此，在现代数学里，研究对象就不再是数和形这两大传统、经典的研究领域，而是一般的集合、各种空间和流形。它们都能用集合和映射的概念统一起来， 已很难区分哪些属于数的范畴，哪些属于形的范畴。

同样地，超穷数也是抽象思维的产物。跟有穷数一样，超穷数也是从真实的集合中抽象出来的。

康托尔指出，集合的基数是两次抽象的结果：一次是从对象中抽去它们所具有的质的特性， 另一次则是抽去在对象之间所存在的次序关系；（良序）集合的序数则是一次抽象的结果，即是从对象中抽去了它们所具有的质的特性。

集合论的实无穷思想：集合论是实无穷观的产物，cantor 的实无穷思想是他创立集合论的关键。

无穷的问题自古以来在数学和哲学中占有特别重要的位置。

对于什么是无穷，历来有两种观点：

• “潜无穷”(potential infinity)：认为无穷是无限延伸 的且永远完成不了的一个过程。它认为“全体自然数”是不存在的，因为自然数是数不完的，即自然数的产生是个无穷无尽的过程，只有这个过程结束了，才能得到自然数的全体，但这个过程永不结束，因而无法得到自然数的全体。

• “实无穷”(actual infinity)：认为无穷是无限延伸或无限变化过程中可以自我完成的无限实体或无限整体。它认为“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的，所以每个自然数都存在，既然每个自然数都存在，“全体自然数”当然存在。

自亚里士多德直至高斯，多数哲学家和数学家赞成“潜无穷”观点。特别是19世纪初，法国数学家柯西运用

“潜无穷”的观点创造性地提出了极限方法，并用这种思想方法解决了牛顿微积分中的矛盾，从而使得“潜无穷”在数学中占了统治地位。

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