霍奇猜想 (4-3)

文艺复兴时期，数学家谈论一件不可思议的事∶在代数中引进一个数，它的平方是-1。这个数用i表示，成了复数的基础。

虽然人类很难接受一个数的平方为负，然而复数具有一套有效的算术运算，就像通常的实数算术运算一样，而且我们还可以求解包含复数的多项式方程。克服复数反直觉的方法是认识到它们可以作为“点”在普通的二维平面上画出来。

实数中，我们可以把每一个实数r与它的相反数-r相对应。画在一条直线上（“实数线”），每个数由位于原点另一侧且与原点有同样距离的点与之配对。这种特定的配对在实数的算术运算中起到了重要的作用。

复数可以作为复平面上的点被画出。对于这些数，取x＋iy与-x-iy对应的类似配对是一种关于原点的反射。但是复数有另一种配对，它在复数的算术运算中起到了重要作用。第二种配对是把每个复数x＋iy与它的共轭复数x-iy对应。复数共轭配对是关于复平面上实数轴（即x轴）的反射。

lm z＝x＋iy

y ↑r↗◝φ

0 → Re

r ↘ ◞φ χ

–y ˉz＝χ–iy

到19世纪，复数的基本理论已被成功地研究出来，复数被普遍认为是主流数学的标准数系。而且，数学家开始发展一种把微积分推广到复变函数的理论，从而产生了复分析。

复分析早期研究的两位主要人物是黎曼和柯西。他们把复变函数与物理学联系了起来。他们开始于这样的思考∶

如果f（z）是复变量z的一个复值函数，那么我们可以把这个函数的f（z）值写成f（z）=u（z）＋iv（z）的形式，其中u（z）和v（z）都是实数。这就给出了两个新的函数u和v，它们都是复变量z的实值函数。

这两位数学家发现，如果复变函数f有着定义良好的（微积分）导数（用现代的术语，如果函数f是解析的），那么它的实部u和虚部v必须满足两个偏微分方程：

∂u ∂υ ∂u ∂υ

─＝─， ─＝–─

∂x ∂y ∂y ∂x

这些方程对物理学家来说是很熟悉的。它们是拉普拉斯方程，在引力理论、电磁理论和流体力学中起着重要作用。拉普拉斯方程的一个解被称为调和函数。复变函数的微积分和拉普拉斯方程之间紧密联系的发现，导致了数学物理学的重大进步。

复变函数理论中的一个重大进展是黎曼曲面的发明。有一些函数，它们对实数很友好，但是当自变量或者函数值允许是复数时，结果完全不像是一个正常的函数，因为一个自变量可以导出不止一个的函数值。平方根函数和对数就是两个例子。

对于实数来说，任何一个正实数都有两个平方根，但由于其中一个为正，另一个为负，所以只要规定取正根，问题就能排除。但是当这个根是复数时，没有一种自然而有效的方法在两个根当中作出选择。黎曼提出，处理这些“多值函数”（它们根本不是真正的函数）的最好方式是把它们看作定义在一个多层曲面上的单值函数（即真正的函数）。

黎曼曲面有着比复平面更为复杂的拓扑结构。看待它们的一种方式是把它们当作复平面的一种螺旋梯式构形。

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