霍奇猜想 (4-4)

进入霍奇猜想

20世纪早期，数学家把黎曼曲面的思想推广成一个高度抽象的概念——复流形，即黎曼曲面的一个有着一种复杂拓扑结构的多维模拟物。这样一个流形具备了一种能确保复解析函数的概念有意义的结构。特别是，有可能定义所谓的微分形式，即把通常（实数）微积分中函数f的微分df推广到多维情况的产物。

有些微分形式可以分成具有某种共同关键特征的不同类型，所以它们被称作上同调类。这些上同调类正是霍奇猜想所说到的。

要理解上同调类的概念需要一系列高深的专业数学知识。下面是一个十分简要的概括∶

• 首先，我们需要知道在微分形式上存在着一种特定的运算，称作外导数。外微分本身就是一种微分。

• 如果一个微分形式是另外某个微分形式的外导数就称这个微分形式是恰当的。

• 如果一个微分形式本身的外导数是零，就称这个微分形式是闭的。

• 如果两个闭微分形式的差是恰当的，就称它们是上同调的。

因此，上同调类的元素是闭微分形式。恰当性是同一上同调类中的元素共有的“相似性”性质。注意上同调类的定义十分依赖于来自微积分的概念。

上同调类定义了有用的拓扑不变量，它们抓住了基本复流形的重要方面。获得了（闭微分形式的）上同调类概念，我们就可以回到代数几何和代数簇概念。一个复代数簇是由一个代数方程组的复数解所定义的一个多维“曲面”。

• 如果定义一个复代数簇的方程组的解仅依赖于有关数的比，数学家就称这个复代数簇是射影的。

• 如果一个簇作为“曲面”是光滑的，他们就称这个簇是非奇异的。

因此，一个非奇异射影复代数簇就是一种特殊类型的复流形。

霍奇意识到他可以把来自于分析的方法应用于这些代数流形。特别是，他意识到由一个非奇异射影复代数簇所产生的微分形式的有理上同调类可以被看作是拉普拉斯方程的解。

霍奇的观察结果使得有可能把这样的一个类写成一些特殊分量的一个和，这种特殊分量称作调和（p，q）形式。它们是可以由p个复变量和q个共轭复变量所规定的拉普拉斯方程的解。而且，每个（p维的）代数上同调类给出了一个（p，p）形式。

霍奇在他对1950年国际数学家大会所作的报告中提出，对于非奇异射影复代数簇，上面说到的最后那个性质可能完全刻画了代数上同调类。也就是说，每个调和（p，p）形式是闭代数形式的一个有理组合（概略地说，即它可以用一种代数的——即不用到微积分的——方法构建起来）。

霍奇猜想就是这样诞生的。但是这个猜想是否正确？无人知晓。

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