霍奇猜想 (4-2)

当我们用微积分去定义一个对象时，定义出来的对象从任何意义上说都不一定是"几何的"。霍奇猜想说，H对象对刚才这句话来说是个例外。虽然它们本身可能不是几何对象，但它们能以一种相当简单的方式由几何对象构建起来。在这个猜想的术语中，H对象就是代数闭链的上同调类的一个有理组合。这就是说，任何H对象都能以一种纯粹代数的方式由几何对象构建起来。

因此，你可以认为霍奇猜想是说∶

通过在簇上运用微积分，我们创造了一类对象（H对象），这类对象不仅让我们想把它们可视化的希望成为泡影，甚至让我们不能用代数方式描述它们。然而，这些对象能以一种代数的方式，由“能用代数描述的对象”建造起来。

霍奇猜想的作用是给专家们提供某种能用来分析H对象的强有力的数学结构。这在许多现代数学中十分重要，数学家不断在寻找对象上的新结构，或者是寻找从一个领域到另一个领域的联系，以使他们能把来自一个领域的方法加以改造，运用于另一个领域。

稍专业的表达

现在，我们对霍奇猜想有了一个整体的认识了。下面是另一种理解这个问题的方式。

我们可以从代数簇上沿着广义路径的积分着手来提出霍奇猜想。由于对路径进行变形仍能保持这种积分的值不变，因此你可以认为这种积分是定义在路径类上的。霍奇猜想提出，如果某些这样的积分为零，那么在这个路径类中存在着一条能用多项式方程描述的路径。

这里先吹一下霍奇猜想的重要意义：霍奇猜想的证明将在代数几何、分析和拓扑学这三个学科之间建立起一种基本的联系。

直到现在，霍奇猜想仍然只是一个猜想。1991年，美国数学学会出版了一本书，书中记载了人们对霍奇猜想已做的一些研究，列出了发表于1950年至1996年的71篇论文，这些论文都仅仅是关于这个猜想的一个方面，即所谓的阿贝尔簇上的霍奇猜想。

下面是这本美国数学学会的书在其序言的开头一段对霍奇猜想的陈述，

设X是一个射影代数流形，p 是一个正整数。再设H²ᵖ(X，ℚ)alg ⊂ H²ᵖ(X，ℚ)是代数上闭链的子空间，即由 X 中余维数为 p 的代数子籠的基本类所生成的 ℚ 向量空间。霍奇猜想断言，可以用霍奇理论来“计算”子空间H²ᵖ(X，ℚ)alg，具.体地说，H²ᵖ(X，ℚ)alg＝Hᵖ，ᵖ (X)∩H²ᵖ(X，ℚ)。

霍奇其人

对于霍奇（William Hodge）这样一位如此优秀的数学家，人们对他几乎一无所知。他1903年出生于苏格兰的爱丁堡。他先是在爱丁堡，然后又在剑桥完成了学业。1936年，33岁的他被剑桥大学委任为教授，直到1970年退休。

他是开发几何、分析和拓扑学之间联系的一位主要人物。数学家如今还记得他主要是因为（除了他的猜想之外）他的调和积分理论。

1938年，他入选伦敦的皇家学会，于1957年被授予皇家奖章，以表彰他在代数几何上的杰出贡献。从1947年到1949年，他任伦敦数学会会长，并于1952年获得这个学会的贝里克奖。1974年，皇家学会再次奖励他，这次是授予他科普利奖章，以嘉奖他在代数几何上的开创性工作，特别是他的调和积分理论。霍奇于1975年逝世，享年72岁。

在职业生涯的大部分时间里，霍奇都致力于发展代数几何理论，其中的一个理论现在就称为“霍奇理论”。他的猜想就是产生于代数几何。1950年在英国剑桥举行的国际数学家大会上，霍奇在他的演讲中宣布了这个猜想。

当复数遇到关于流体的数学

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