霍奇猜想 (4-1)

英国数学家霍奇（William Vallance Douglas Hodge）于1950年提出的霍奇猜想，无疑是所有千禧难题中最难理解的。这是个高度专业的问题，只有极少数专业数学家才能真正地理解。下面是霍奇猜想：

一个非奇异射影代数簇上的每一个（一定类型的）调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。

是不是发现，这个句子中的每一个专业术语你都不理解。在关于伯奇和斯温纳顿一戴尔猜想的文章中，我还可以把那个猜想与简单的几何联系起来，即三角形面积问题。

对于霍奇猜想，甚至想找些简单的类比都没有。霍奇猜想最清楚地说明了，现代数学的本质使它的大部分几乎不可能被普通人所领会。

一个世纪以来，数学家在旧的抽象上面建立了新的抽象，与其说数学家做出了新东西，不如说被考虑的对象变得更为抽象了。以霍奇猜想为例，微积分的运算在这里扮演了一个主要的角色，但是这个微积分不是像许多高中生所学到的那样在实数上进行，甚至也不在复数上进行。这是在更一般、更抽象的背景上进行的微积分。

对普通人来说，这个问题的难以理解正是它最有趣的地方。话虽如此，但我还是想试图解释一下霍奇猜想说的是什么。

整体的认识

17世纪，法国哲学家笛卡儿把几何代数化，把几何图形放在笛卡尔坐标系中，然后建立它们的数学方程。用代数来研究的几何通常称作代数几何，也叫笛卡儿几何。

19世纪期间，数学家将笛卡儿的方法向前推进了一步。他们不是只把代数当作一种工具，来研究几何对象，而是从代数方程着手，把这些方程的解定义为"几何"对象。但是大多数方程并不对应着我们熟悉的几何对象。因此称它们为"几何对象"是讲不通的。以这种方式，从代数方程产生的对象，数学家所给的名称是“代数簇”。

在定义代数簇时，数学家并不是仅考虑一个代数方程，而是一个方程组（有限个）。在由两个方程组成的方程组中，每一个方程定义了一个几何图形，那么由这个方程组定义的簇将是这两个图形的共有部分。）

因此，代数簇是几何对象的一种推广。任何一个几何对象都是一个代数簇，但是有许多代数簇是不可能被可视的。然而，并不因为某个特定的代数簇不可能被可视化，我们就无法研究它。

现在，我们可以看一下霍奇猜想中的一个专业术语∶一个非奇异射影代数簇，简单说，就是一个光滑的多维"曲面"，它由一个代数方程的解所产生。这就像一个球面是通过解代数方程

x²＋y²＋z²＝α²

而得到的一个光滑的二维曲面。

这个猜想针对那种“曲面”上的“调和微分形式”作出了一个断言。一个调和微分形式是某个十分重要的偏微分方程（称为拉普拉斯方程）的一个解，它既产生于物理学，也产生于复变函数的研究。

大学学习的微积分通常是在二维平面上。但是小小地努力一下，就可以把它推广到其他曲面上，例如球面上。再努力一下，就可以把微积分推广到各种各样更为一般的簇上。霍奇猜想涉及的是推广到一个非奇异射影代数簇上的微积分。它对某种类型的抽象对象作出了一个断言，我们把这种抽象对象称为H对象，如果我们从某种类型的簇着手并在其上做某种微积分，就会产生H对象。

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