集合论数学基础 (4-3)

纯粹集合论式的观点，即集合论宇宙中只有集合而没有个体（individual/atom，例如桌子椅子天使这些东西）除了纯粹性的简便性和对于作为数学基础来说足够（任何数学、抽象或具体对象的组合，无论如何形成，都可以是一个collection（或class），例如一个函数就是其的像/图（graph），如一个从{0，1} 到 {0，1} 并有 f(0)＝1，f(1)＝0 的函数也就是集合 {＜0，1＞，＜1，0＞} ）以外，许多证明方法在加上个体时无法施用。不过个体的研究价值得以保留下来，Frankel发现了一种方法，可以证明选择公理相对于允许个体的系统ZU的独立性，并被Lindenbaum、Mostowski和Mendelson等人发展。

层谱（hierarchy）式的集合观：

集合的宇宙分层为一系列“阶段”（stages），每个阶段都有一个序号，最低的阶段，即阶段0，由所有没有成员的实体组成。第0阶段唯一有的就是空集。每一个新的阶段中的集合由所有更低的阶段中的元素形成。这些阶段形成了一个嵌套的、有秩序的序列，如果集合的成员关系是传递性的（transitive），就会形成一个层次结构。

层叠集合观（The Iterative Conception of Set）以一种很好的方式避开了罗素、Burali-Forti和Cantor的著名悖论。这些悖论都是由于不加限制地使用了朴素集合理论的原则而产生的。像“所有集合的类”或“所有序数的类 ”这样的集合包括来自迭代层次的所有阶段的集合。因此，这样的集合不可能在任何特定的阶段形成，因此也不可能是集合。 ∨ω*ω

⋰

∨3ω ∨2ω

⋰

∨ω＋2

∨ω＋1

∨ω

⋰

∨ ∨5

∨4

∨3

∨2

∨1

∨0

虽然冯诺依曼为其打下了公理基础（V=WF（良基，well-founded）），但对于其的具体的哲学论证

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