集合论数学基础 (4-2)

哥德尔的完全性定理解决了第一个问题，在而哥德尔在尝试证明分析的一致性时，尝试一半时就攻克了后三个问题，他先领悟到真的不可定义性，1930年的柯尼斯堡会议上由卡尔纳普（ Rudolf Carnap ，代表逻辑主义）、海廷（ Arend Heyting ，代表直觉主义）和冯·诺依曼（ von Neumann，代表形式主义）宣读论文，但他们都被一个年轻人的光辉盖过了，哥德尔就宣读了自己的《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题，1》（On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, I）（哥德尔原本还想发表第二篇证明第二不完备性定理并推广到一般的情况，但没想到结论被接受得如此之快），提出了不完备性定理，当时他24岁，这是在他发表完全性定理的证明一年之后。

一个相关推论是二阶逻辑没有语义完全性，这基本确立了一阶逻辑相对于高阶逻辑的优势地位，Lindström's theorem也告诉我们一阶逻辑是最强的同时具有紧致性和向下的Löwenheim-Skolem性质的逻辑。Quine甚至争论说反对二阶逻辑。

集合论的情况则是这样：

虽然早在之前康托就已发现了康托悖论，也有布拉里-福蒂（Burali-Forti）等悖论，但并没有引起太多注意，直到罗素悖论的发现。一个重构是这样的，朴素集合论（naive set theory）只有两条公理：

• 外延公理： ∀x∀y(∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) ↔ x＝y)

概括公理（模式）：对于每一个公式 φ，∃y∀x(x ∈ y ↔ φ)

那么就会有

Let R＝{x│x ∉ x}，then R ∈ R ⇔ R ∉ R

但是，这也并不意味着“数学危机”这种提法很有合理性，

当然，集合论的基础存在着危机，但即使在这里，许多数学家也继续以非形式的方式工作，而不赖于这些悖论的这种或那种解决方案。例如，Hausdorff（1914）的集合论教科书几乎没有提到它们。除非人们已经接受了数学的集合论还原，否则没有理由将其视为数学基础的危机；但在对悖论进行令人满意的解决之前，更自然的反应是将其视为对这种还原的可能性的反驳。（[1], 16）

zemelo先提出了集合论的公理化，他的主要目的在于以清晰的方式用大家都能接受的选择公理证明佐恩引理以证明良序定理；他的公理化中没有替换公理，这是由Frankel加上去的（司寇伦也独立发现了替换公理），这也是ZFC之所以叫ZFC的原因。正则公理是由冯诺依曼提出的。

布尔巴基学派采用以集合论为基础的方式讲述数学（当然，布尔巴基学派所采用的集合论并不完全是ZFC式的，例如ta们使用了Hilbert的ε算子，也没有采用正则公理；ta们也不是很注重数理逻辑）发挥了重大影响（ta们声称在ta们的形式系统中基数1的非缩写形式的字符数是“个把千个”（Bourbaki 1956, p.55），但实际数字是10^12（Mathias 2002）（转引自[1], 18））。

到20世纪60年代，使用公理模式以一阶形式陈述数学理论已经成为标准（16）。

如果我们从元理论的角度来看待这个问题，这种不足的原因就很清楚了：在level是V是无限的情况下，二阶分离公理包含了不可数的实例（参见康托尔定理9.2.6），而一阶模式只有可数的实例，因为集合论的语言是可数的。（[1], 43）

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