集合论数学基础 (4-1)

数理逻辑的早期发展史是这样的：

布尔（Boole）于1847布尔代数；

德摩根（de Morgan）在1864引入关系（relation）；

皮尔斯（Pierce）于1885引入量词（quantifier），区分命题（proposition）、一阶（first order）、二阶（second order）层次；

施罗德（Schröder）1877年的《布尔演算的运算》介绍和扩充了布尔的工作，并第一次使用“命题逻辑”“数理逻辑”等词汇；他在1890-1895年间系统地研究和扩充了布尔和皮尔士的工作；

洛文海姆（Löwenheim）在1915年借助施罗德的“将二阶量词理解为一阶量词的无穷积”的技巧证明向下的洛文海姆-司寇伦定理（downward Löwenheim–Skolem theorem）；

皮亚诺于1889年引入常量、函数（含于关系）、量词，在戴德金的哲学/概念分析的基础上提出了皮亚诺公理；

弗雷格于1879年引入谓词和量词，并区分各阶逻辑；

罗素在1901年发现罗素悖论，到1908年发展出类型论以解决集合悖论和语义悖论，怀特海和罗素写出了三大卷《数学原理》（Principia Mathematica），影响了一代逻辑学家，后来的一些重要工作就是在数学原理的框架或是类型论的框架下做的；

希尔伯特和贝奈斯（Bernays）在1898-1905年间谈及完全性、一致性等元逻辑问题；并和阿克曼（Ackermann）将一阶逻辑作为独立研究对象；

司寇伦（Skolem）在1920年给出了Löwenheim–Skolem定理的新形式和新证明；1922年又给出了新的证明；他用Skolem's paradox反对公理集合论作为数学的基础，认为其会导致一种相对性；

直接后继关系是：

布尔-德摩根-施罗德-洛文海姆-司寇伦

施罗德-皮亚诺-罗素

弗雷格-罗素

哥德尔在1929年在他的博士论文中证明了一阶逻辑的完全性定理：任何有效式（在所有interpretation下都为真的）都是可证的/有一个证明；希尔伯特提出了4个问题：

1.证明一阶逻辑的语义完全性；

2.将之推广到高阶；

3.证明算术的一致性和语形完全性（对于系统S中的每个句子φ，要么是S可证φ，要么S可证非φ）；

4.证明分析及其它数学的一致性和完全性。

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