数学联邦政治世界观
超小超大

集合论语言 (3-3)

最后来推广一下卡氏积,将有限的推广到无限(如果你知道可数的意义的话,那么这里的无限不止于可数).设

{Xα}α∈A

是一族集合,它们的卡氏积∏Xα是:

α∈A

∏ Xα={f│f:A → ∪ Xα,f (α) ∈ Xα}

α∈A α∈A

事实上这个定义,在有限情形下,比如A={1,2}时,和我们之前定义的卡氏积在集合意义下其实是不一样的,但是对于数学的研究来说其作用又是等价或者说一致的,所以可以视为一样一样的.

设X=∏ Xα,我们定义第α个投影

α∈A

(projection),或者说坐标映射(coordinate map)πα:X → Xα为πα(f)=f(α).我们也经常用x和xα分别代替f和fα.

如果Xα全部都是Y,我们记∏ Xα为Yᴬ,

α∈A

其意义是不言而喻的.当A是有限集,比如说A={1,2,· · ·,n},Y为ℝ或者ℂ,就是我们常用的实空间和复空间.

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