集合论语言 (3-2)

此外，我们有DeMorgan定律(You should verify it!)：

(∪Eα)ᶜ＝∩Eᶜα (∩Eα)ᶜ＝∪Eᶜα

α∈A α∈A α∈A α∈A

跳一大段，来介绍关系(relation)，注意这个是数学意义上的关系，不是我们日常被别人踩了脚然后说的"没关系"的那个关系.

设X和Y是集合，定义X × Y为两个集合的卡氏积(Cartesian product)：

X × Y＝{(x，y)：x ∈ X，y ∈ Y}

所谓关系就是X × Y的一个子集.如果(x，y) ∈ R，我们记xRy.有三种重要的关系类型：

1.等价关系(equivalence relation)：集合X上的等价关系R是指满足自反性(xRx，∀x ∈ X)，反身性(xRy ⇔ yRx)，传递性(xRy，yRz ⇒ xRz)的关系；

2.序(ordering)，我们在下一节介绍；

3.映射(mapping)，这一点是我们可能不太习惯的，但是仔细想映射就是一种关系，只不过是要求了某种唯一性(哪一种?)的关系，而且将xRy记为了y＝f(x).

既然引出了映射，我们默认读者熟知了映射的复合(composition)，映射的像(image)和逆像(inverse image).我们需要强调的是映射的逆像保持了集合运算的特殊性质(You should verify it!)：

f⁻¹(∪Eα)＝∪f⁻¹(Eα)， f⁻¹(∩Eα)＝∩f⁻¹(Eα)

α∈A α∈A α∈A α∈A

f⁻¹(Eᶜ)＝(f⁻¹(E))ᶜ.

这个性质非常有用，它为今后说明在某些条件下，逆像是满足某些特殊代数结构的集合提供了有力的工具(这句话不懂也没关系)，请仔细铭记.

在保持集合运算方面，直像相比其逆像就要差一些：

f (A∩B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

f(A)\f(B) ⊂ f (A\B)

请读者自行验证并举例说明"不等号"的缘由.

另外我们默认读者熟知定义域(domain)，满射(surjective)，单射(injective)，双射(bijective)，逆映射(inverse).注意逆映射是在映射是双射时存在，比逆像要"强"，二者不完全一致.

一个有趣的问题是"直像"与"逆像"的复合运算的问题，即f(f⁻¹(B))＝B，f⁻¹(f(A))＝A，等号在什么情况下成立?匡继昌先生的著作——《实变函数与泛函分析绪论》一书中特别提到过这个问题,并且提到有数学家撰写的书籍对这个问题的认识是错误的，有兴趣的读者可以去看一下.事实上，很容易举例看出：

f(f⁻¹ (B)) ⊂ B (f is not surjectiυe)

f⁻¹(f (A)) ⊃ A (f is not injectiυe)

序列是特殊的映射，我们就不讲具体了.

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