集合论语言 (3-1)

参考书籍：Folland，《Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications》(Second Edition)

首先我们规定一些数集的符号，对抽象代数有一定了解的同志都会知道其中有些构成域(field)，而有些只是环(ring)，说的是谁，数集们自己心里有数.

定义1.1——数系

ℕ：自然数集；ℤ：整数集；ℚ：有理数集；ℝ：实数集；ℂ：复数集.

现代数学符号体系一般是认为自然数集包括0的，但是本书规定不包括0.

关于归谬法，逆否命题的逻辑等价性，我们默认读者在中学已经熟知了. 下面介绍一些集合的基础概念.

首先，我们要知道集合是需要明确其定义的，不是你说它是集合就是集合的，比如所有的集合是否构成一个集合?当然不是了，这个问题史称Cantor假设.我们会在1.3解决这个问题.

事实上，读者只需要默认集合是一些特定对象构成的总体即可.多的咱也不说，读者其实在中学就接触过集合了.这个问题我们会在后面解决它.

我们规定空集(emptyset)的记号是∅，实际上百分之九十的数学书都是用这个记号，不过也有例外，比如Conway所著的复分析一书空集的记号是▢，这很令人难受.幸亏笔者仁慈，不打算令读者难受.

规定集合的所有子集(subset)构成的集合记为P(X)，称之为幂集(power set)：P(X)＝E：E ⊂ X

设

ε＝Eα：α ∈ A＝Eαα∈ᴀ

是一族集合，我们定义这族集合的并和交：

∪E＝{x：x ∈ E for some E ∈ ε}＝∪Eα

E∈ε α∈A

∩E＝{x：x ∈ E for αll E ∈ ε}＝∩Eα

E∈ε α∈A

读者当然学过微积分，(如果没学过当我撤回了)，微积分里我们有函数的上下极限，同样集合也是有的哦：

lim supEₙ＝x：x ∈ Eₙ for in finitely mαny

∞ ∞

n＝∩∪Eₙ

ₖ₌₁ ₙ₌ₖ

lim infEₙ＝x：x ∈ Eₙ for αll but finitely mαny

∞ ∞

n＝∩∪Eₙ

ₖ₌₁ ₙ₌ₖ

接着介绍集合的差，设E和F是两个记号，我们记

E\F＝{x：x ∈ E αnd x ∉ F}

称为集合E和F的差，有时候也记为E – F；相应有对称差的概念(读者不妨画个图)：

EΔF＝(E\F)∪(F\E)

我们有时候讨论问题局限在一个"全空间"之中，比如讨论实数轴上的数列时候，全空间就是ℝ，那么其与子集的差就可以简称为这个子集的补集；更一般地，设X是一个全空间，其子集E在X中的补集Eᶜ就是：Eᶜ＝X – E

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。