Amann分析中recursion theorem的证明 (3-1)

目录

原命题 ▹

前置知识 ▹

命题的表述 ▹

命题的证明 ▹

免责声明：本文仅仅是展示如何在类型论 (Agda) 中证明原题所引用的命题, 而不构成对原题的回答, 毕竟, 原题可能是在集合论背景下的问题.

集合论里, 严格来讲只有演绎, 没有归纳, 因为归纳是公理的结果, 是需要先证明的. 但是类型论里, 消去规则就是归纳, 是内生的, 不需要被证明的.

原命题

5.11 Proposition Let X be a nonempty set and α ∈ X. For each n ∈ ℕ×，let Vₙ：Xⁿ → X be a function. Then there is a unique function f：ℕ → X with the following properties：

(i) f(0)＝α.

(ii) f(n＋1)＝Vₙ₊₁(f(0)，f(1)，. . .，f(n))，n ∈ ℕ.

前置知识

我们知道什么是空类型⊥, 自然数类型 ℕ, 积类型 _×_ 以及相等类型 _≡_. 直接从标准库中导入这些内容.

{-# OPTIONS --safe #-}

open import Data.Empty

open import Data.Nat hiding (_^_)

open import duct

open import Relation.positionalEquality

open ≡-Reasoning

定义 给定集合 X 以及自然数 n，我们递归定义 Xⁿ 如下

X¹＝X

Ⅹⁿ⁺²＝Xⁿ⁺¹ × X

也就是说，Ⅹⁿ⁺¹＝Xⁿ × X.∎

_^_ : (X : Set) (n : ℕ) → Set

X ^ 0 = ⊥

X ^ 1 = X

X ^ 2+ n = X ^ suc n × X

注意 X⁰没有定义, 形式化为空类型 ⊥.

定义 给定集合 X，函数 f：ℕ → X 以及自然数 n，递归定义 f〈· · ·〉n：Xⁿ⁺¹ 如下

f〈· · ·〉0＝f(0) f〈· · ·〉(n＋1)＝〈f〈· · ·〉〉n，f(n＋1)〉

也就是说，f〈· · ·〉n＝〈f(0)，f(1)，. . .，f(n)〉.∎

_⟨⋯⟩_ : {X : Set} (f : ℕ → X) (n : ℕ) → X ^ suc n

f ⟨⋯⟩ zero = f 0

f ⟨⋯⟩ (suc n) = f ⟨⋯⟩ n , f (suc n)

命题的表述

再次贴出原命题. 我们只证其中的存在性，不证唯一性.

5.11 Proposition Let X be a nonempty set and α ∈ X. For each n ∈ ℕ×，let Vₙ：Xⁿ → X be a function. Then there is a unique function f：ℕ → X with the following properties：

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。