Amann分析中recursion theorem的证明 (3-2)

(i) f(0)＝α.

(ii) f(n＋1)＝Vₙ₊₁(f(0)，f(1)，. . .，f(n))，n ∈ ℕ.

命题 给定非空集合 X，其元素 α：Ⅹ，以及函数 Vₙ：Xⁿ → X，形式化为依赖函数

V：∏(Xⁿ → X).

n：ℕ

module 5-11 (X : Set) (a : X) (V : (n : ℕ) → X ^ n → X) where

存在一个函数f：ℕ → X满足如下性质

(i) f(0)＝α

(ii) ∀n ∈ ℕ，f(n＋1)＝Vₙ₊₁(f〈· · ·〉n)

desired : (f : ℕ → X) → Set

desired f = （i） × （ii）

where

（i） = f 0 ≡ a

（ii） = ∀ n → f (suc n) ≡ V (suc n) (f ⟨⋯⟩ n)

命题的证明

定义 我们使用互递归 (mutual recursion) 来构造所需的函数 f：ℕ → X. 即同时构造以下两个函数.

f：ℕ → X

p：∏ Xⁿ⁺¹

n：ℕ

f : ℕ → X

p : (n : ℕ) → X ^ suc n

使得f 满足

f(0)＝α

f(n＋1)＝Vₙ₊₁(pₙ)

f 0 = a

f (suc n) = V (suc n) (p n)

且p 满足

p₀＝f(0)

pₙ₊₁＝〈pₙ，f(n＋1)〉

p zero = f 0

p (suc n) = p n , f (suc n)

引理 对任意 n，我们有 pₙ＝f〈· · ·〉n.

证明 对 n 归纳.

• 当 n＝0 时，p₀＝f(0)＝f〈· · ·〉0.

• 当 n＝n＋1 时，由归纳假设 pₙ＝f〈· · ·〉n 有

pₙ₊₁＝〈pₙ，f(n＋1)〉

＝〈f〈· · ·〉n，f(n＋1)〉

＝f〈· · ·〉(n＋1)

eq : ∀ n → p n ≡ f ⟨⋯⟩ n

eq zero = refl

eq (suc n) = begin

p (suc n) ≡⟨⟩

(p n , f (suc n)) ≡⟨ cong (_, f (suc n)) (eq n) ⟩

(f ⟨⋯⟩ n , f (suc n)) ≡⟨⟩

f ⟨⋯⟩ (suc n) ∎

定理 以上构造的 f 满足 (i) 和 (ii).

证明 依定义，(i) 显然成立. 对于 (ii)，讨论 n.

• 当 n＝0 时，f(1)＝V₁(f(0)) 显然成立.

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