拓扑数学（二）

我举个比较初等的例子：素数有无限个的拓扑证明。这个是由Furstenberg给出的，并因为刊登在《数学天书中的证明》一书中而被广为人知。

对于α，b ∈ ℤ，b＞0 ，定义 Nα，b＝{α＋nb|n ∈ ℤ} ，对于集合 O ⊆ ℤ ，称 O 为开集，当且仅当 O＝∅ 或对任意 α ∈ O ，存在 b ∈ ℕ₊ ，使得 Nα，b ⊆ O 。不难验证所有的开集 O 构成了 ℤ 上的一个拓扑，并且：

• 非空开集必是无限集

• 形如 Nα，b 的集合既是开集又是闭集

由于任何一个n ∈ ℤ – {1，–1} 均至少有一个素因子 p ，故 n ∈ N₀，ₚ ，因此 ℤ – {1，–1}＝∪N₀，ₚ 。

p prime

如果只有有限个素数，则右边是闭集的有限并，因此为闭集，从而 {1，–1} 为开集，这与非空开集是无限集矛盾。所以素数有无限个。

这个证明最令我觉得惊艳的一点是，它利用整数环 ℤ 的代数结构构造出了一个拓扑结构，并以之证明素数的无限性。

事实上，Nα，b 就是形如 α＋ℑ 的集合，其中 α ∈ ℤ 而 ℑ＝(b) 是 ℤ 的一个非零理想。这意味着对于一般的非零环 R ，如果它的任意两个非零理想的交不是零理想，我们可以照猫画虎定义其上的一个拓扑 τ ：它的一个基 B 是形如 r＋ℑ （ r ∈ R ， ℑ 是 R 的一个非零理想）的集合的搜集。这个 B 是一个拓扑基，是因为：

• 显然 R ∈ B ，所以对任意 r ∈ R ，存在 B ∈ B ，使得 r ∈ B

• 对任意 r ∈ (r₁＋ℑ₁)∩(r₂＋ℑ₂) ，有 r₁＋ℑ₁＝r＋ℑ₁ 且 r₂＋ℑ₂＝r＋ℑ₂ ，因此 r ∈ r＋ℑ₁∩ℑ₂＝(r＋ℑ₁)∩(r＋ℑ₂)＝(r₁＋ℑ₁)∩(r₂＋ℑ₂) ，前面的条件保证了 ℑ₁∩ℑ₂ ≠ 0 ，因此 r＋ℑ₁∩ℑ₂ ∈ B 。

至于这个拓扑有什么用处，似乎除了上面的证明素数无限性，用处并不大，甚至R 带上这个拓扑能否构成拓扑环似乎都是不一定的，这意味着它的性质实际上很差。

当然代数结构诱导拓扑结构的例子其实不在少数，例如交换环的谱的Zariski拓扑、完备化模或环的Krull拓扑等等。

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