哥德尔纲领 (4-1)

一、乐观的理性主义

对理性主义者来说，十九世纪末至二十世纪初无疑是一段令人怀念的美妙时光。

人们相信，无论是以经典力学、电磁学和热力学为代表的物理学或是以《德国民法典》为代表的大陆法系都已接近完备。

而在数学上，康托尔（Georg Cantor）集合论让人类第一次可以有意义地谈论各种不同的无穷；弗雷格（GottlobFrege）的概念文字使数学得以摆脱来自自然语言的模糊性；希尔伯特（David Hilbert）号召建立完备的形式系统一劳永逸地解决经典数学（包括康托尔集合论）的基础问题：一切明确的数学问题都必然有一个确切的解答。

我们甚至可以说，某种乐观的理性主义是那个时代的主流。

理性主义者认为，存在某类知识，它们不是通过一个个经验案例得到的，而只能依赖于某种来自于理性的能力的直接把握。

他们进一步宣称，人类的理性足够把握这些知识。

莱布尼兹是这种乐观的理性主义的代表人物。

其乐观的理性主义最集中的体现，同时也是对后来的数学基础研究产生重要影响的是他毕生关于通用文字的设想：“我认为有可能发展出一种一般的文字，可以像代数在数学中那样确凿无疑地记录所有领域的研究。”莱布尼兹的设想被认为是现代逻辑的先声。

在下文中，我们将分析，在理解了弗雷格与希尔伯特的失败后，哥德尔所能够主张的是怎样一种乐观的理性主义（第2节）；以及作为哥德尔纲领在当代最有代表性的执行者，武丁的终极L理论遇到了哪些挑战（第3节）。

二、哥德尔纲领

无论弗雷格的逻辑主义纲领还是希尔伯特的形式主义纲领都谋求一劳永逸地解决数学基础问题。

在今天看来，这些研究纲领至少在表面上都失败了。

弗雷格的逻辑主义纲领谋求将全部数学建立在逻辑的基础之上。

诚然，罗素悖论是对弗雷格计划的重大打击，但它并不构成对逻辑主义纲领本身的否定。

可以明确的是，罗素的发现让人们意识到无论是弗雷格的（二阶）逻辑、罗素本人的分支类型论抑或集合论作为数学的基础，无论它们是否被称作逻辑，仍然可能会出问题，它们安全性仍然是有待检验的。

罗素悖论

数学形式 S={x丨x ∉ x}

S不属于S意味着满足这个集合自身的定义了

如果S ∉ S → S ∈ S

也就是这个括号里的x不属于x

S这个集合的定义是要满足x不属于x这个条件的

如果S∈S → S ∉ S

也就意味着S也是满足这个条件

希尔伯特自始至终是经典数学（包括康托尔集合论）的捍卫者。

可能是受到几何学公理化传统的影响以及直觉主义者的步步紧逼，希尔伯特在数学基础上选择了形式主义的立场。

希尔伯特试图回避任何哲学上的纠缠，仅仅用数学结果为数学做辩护。

希尔伯特要求：

（1）找到包含经典数学的形式化的公理系统；

（2）证明该公理系统的一致性；

（3）证明该公理系统的完全性。

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