Hartogs number的一个引理

定义集合X 的Hartogs number ℵ(X) 为 min {α ∈ Ord：α ≰ X} 。可以在ZF下证明每个集合都有Hartogs number（hint：否则就会导致Burali-Forti's paradox）

Lemma：对于任意无穷集合X，Y ， ℵ(XY)＝ℵ(X) × ℵ(Y)

Proof：由于ℵ(X) × ℵ(Y) ≤ max{ℵ(X)，ℵ(Y)} ≤ ℵ(XY)，因此只用证明 ℵ(XY) ≤ ℵ(X) × ℵ(Y)。

任选 κ＜ℵ(XY) 且 κ 是基数，则存在 A ⊂ X × Y 和双射 f：κ → A 。令 A₀＝projₓ(A) ∧ A₁＝projʏ(A)，现在证明 A₀，A₁ 都可以良序化：定义 ψ：A₀ → A 使得 ψ(x)＝min Aₓ＜ᴀ ，其中 ＜ᴀ 是 A 上的良序且 Aₓ＝{(x，y)} ∈ X × Y：(x，y) ∈ A}，不难证明 ψ 是单射，因此 A₀ 可被良序化，同理 A₁ 可被良序化。用 ψ，＜ᴀ 诱导出的 A₀，A₁ 上的良序的基数 ≤ κ ，且必然在 A₀，A₁ 有一个的基数 ≥ κ ，不妨设 A₀ 的基数 ≥ κ ，则 ℵ(X)＞κ ，因此 ℵ(XY) ≤ ℵ(X) × ℵ(Y) ，lemma成立。 ⊣

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