集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-9)

定理7.5：可数集的可数并为可数集。

定理7.6：可数集的有限积可数。

定理7.7：设 X＝{0，1} , 则集合 Xω 不可数。 利用Cantor对角化过程可证明。

笛卡尔积{0，1}ω 是一个不可数集的例，另外一个例子是 {P(ℤ₊)}：

定理7.8: 设 A 为集合。则不存在单射 f：P(A) → A，也不存在满射 g：A → P(A) 。其中 P(A) 表示所有 A 的子集构成的集簇。

实数集不可数。

9 无限集和选择公理

定理9.1：设 A 为一个集合。下面对 A 的陈述是等价的：

1) 存在单射f：ℤ₊ → A 。

2)A 的真子集与 A 本身之间存在一个双射。

3)A 为无限集。

选择公理(Axiom of choice)：给定一个不相交的非空集合构成的集簇 A ，存在一个集合 C ，它刚好由 A 中的每个元素(集合)中的一个元素组成。换句话说，集合 C 是包含在 ∪B B∈A

中的，而且 ∀A ∈ A：C∩A 只含一个元素。

集合C 可以认为是从集簇 A 中的每个元素(集合)中选出一个元素而构成的。

引理9.2(选择函数的存在性)：给定一个非空集合构成的集簇 B (无需不相交)，则存在一个函数：

c：B → ∪B

B∈A

使得∀B ∈ B：c(B) ∈ B。

这个函数称为集簇B 的选择函数(choice of function)。

注意引理9.1和定理9.2的区别在于，引理要求集簇元素不相交，而定理集簇中元素可以不要求不相交。比如说B 可以是由同一个非空集合组成的集簇。

说明一下，选择公理有两种形式，一种是有限选择公理，一种就是上面的无限选择公理。描述的内容几乎类似，差异就在于集簇是有限还是无限的。对于有限版本的，数学家们都没有什么异议，但是对于无限版本的存在一些争议。不过我们这里先不管它，包括证明，现在都跳过去。

1.10 良序集(well-ordered sets)

良序(well-ordered)：集合 A 上有一个序关系 ＜，如果每个非空子集都有最小元素，则这个集合称为良序集。

有两种方法构建良序集：

1. 如果 A 为良序集，那么 A 的任意子集都是在限定的良序下是良序集。

2. 如果 A，B 为良序集，那么 A × B 是以字典序为良序集的。

定理10.1: 每个非空有限有序集具有 ℤ₊ 的一部分 {1，· · ·，n} 的序类型，因此是良序的。

因此，有限集只有一种可能的序类型。对于无限集，事情变得相当不同。比如说：

ℤ₊，

{1，· · ·，n} × ℤ₊，

ℤ₊ × ℤ₊，

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