集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-8)

定理4.2 增强的归纳原理(strong induction principle)： 设 A 是一个以正整数为元素的集合。假设对每一个正整数 n ， Sₙ ⊂ A ⇒ n ∈ A , 则 A＝ℤ₊ 。

阿基米德有序性质: 正整数 ℤ₊ 在 ℝ 中没有上界。可以用上确界公理证明。

利用上确界公理还可以证明关于ℝ 的另一些结论。比如任意正实数的正的平方根的存在性和唯一性。而这个事实又可以用来证明无理数的存在性(不是有理数的数)。

关于这一块的简单列举到这里，我们的重点是继续前行。

1.5 笛卡尔积

索引函数、索引集、集合的索引簇、m元组、笛卡尔积、序列、无限序列、欧氏m空间ℝᵐ 、无限维欧氏空间 ℝω (x₁，x₂，· · ·)

1.6 有限集

有限集、基数(cardinality)。

设索引集Jₘ＝{1，2，· · ·，m} 。

引理6.1：设 n 为正整数。设 A 为一个集合， x₀ ∈ A 。

那么存在一个双射f：A → Jₙ₊₁ 的充要条件是存在双射 g：A – {α₀} → Jₙ 。

定理6.2：设 A 为集合，存在双射 f：A → Jₙ , 其中 n 为某个正整数，若 B ⊊ A，

则不存在双射g：B → Jₙ ； 但是存在某个 m＜n , 双射 h：B → Jₘ 。

推论6.3：如果 A 为有限集，在 A 与其真子集之间不存在双射。

推论6.4：ℤ₊ 不是有限集。

推论6.5：有限集 A 的基数由 A 唯一确定。

推论6.6：有限集 A ， B ⊂ A , 则 B 为有限集。如果 B ⊊ A , 则 card B＜card A 。

推论6.7：B ≠ ∅ , 则下面命题等价：

1)B 有限集。

2) 存在某个m 使得 f：Jₘ → B 为满射(surjective)。

3) 存在B 到正整数某个部分的单射(injective)。

推论6.8：有限集的有限并是有限集、有限集的有限笛卡尔积是有限的。

1.7 可数集和不可数集

无限集：不是有限集的集合称为无限集。

可数无限集: 如果存在双射 f：A → ℤ₊ ，则称集合 A 为可数无限集。

可数集：有限集和可数无限集统称为可数集，有些书籍上称为至多可数集，而将可数集直接表示可数无限集。

不可数集：不是可数集的称为不可数集(注意不同的教材上可数集的定义， 有限集不是不可数集)。

定理7.1：设 B ≠ ∅ , 则下面命题等价：

1)B 为可数集。

2) 存在双射(bijective) f：ℤ₊ → B 。

3) 存在单射(injective)g：B → ℤ₊ 。

引理7.2：如果 C ⊂ ℤ₊ 为无限子集，那么 C 为可数集。

推论7.3：可数集的子集可数。

推论7.4：集合 ℤ₊ × ℤ₊ 是可数无限集。

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