集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-10)

ℤ₊ × (ℤ₊ × ℤ₊)

都是可数无限集，但是它们都具有不同的序类型。我们给出的所有良序集的例子都是可数集的序。那么很自然地会问是否能找到一个有序的不可数集。显而易见的不可数集是可数无穷乘积：

X＝ℤ₊ × ℤ₊ · · ·＝(ℤ₊)ω

我们能很自然的方式生成这个集合的字典序，定义

(α₁，α₂，· · ·)＜(b₁，b₂，· · ·)

对于某个 n ≥ 1，

αᵢ＝bᵢ，for i＜n and αₙ＜bₙ

实际上这个确实是X 上的一个序，但是不是一个良序。自然很多人都想知道这个集合上是否存在一个良序，但是目前还没有人为 X 构建出来过良序。但是下面的著名定理说了，这样的良序是存在的：

定理(良序定理)：如果 A 为集合，则 A 上存在一个序关系是良序的。

这个定理是Zermelo于1904年证明的，震惊了整个数学界。关于证明的正确性，有很多争论。对于任意不可数集缺乏任意良序的构造过程，这是很多争议的点。当靠近分析证明过程，唯一的点就在于可能存在一些问题就是其中的一个构造涉及到无限数量的任意选择，也就是构造涉及到了选择公理。

一些数学家拒绝选择公理作为一个结论，多年来，关于一个新定理的一个合理问题是：是否证明能够涉及选择公理? 如果必须使用选择公理进行证明，则一个定理被认为是有点不可靠的。今天的数学家，总的来说，没有这样的疑虑。他们接受选择公理作为关于集合论的一个合理假设，同时也接受良序定理。

选择公理隐含良序定理的证明相当长(尽管不是非常困难)，主要是逻辑学家感兴趣的；我们将省略它。如果你感兴趣，在本章末尾的补充练习中概述了一个证明方法。相反，无论何时，我们都将简单地假设良序定理。将其视为您喜欢的附加公理！

事实上，我们只是偶尔需要充分利用这一假设。大多数时候，我们所需要的只是以下较弱的结论：

推论：存在不可数良序集。

定义：设 X 为良序集，给定 α ∈ X，设 Sα 表示集合

Sα＝{x|x ∈ X，x＜α}

则这个集合称为由 α 确定的 X 的一截(section of X by α )。

引理10.2：存在一个良序集 A 具有最大元素 Ω，使得由 Ω 决定的 A 的部分 SΩ 是不可数的，但是 A 的其他部分都是可数的。(?)

证：假设B 为一个不可数的良序集。设 C 为 {1，2} × B 在字典序下的不可数的良序集，那么 C 的某一截不可数。(事实上， C 在每一个形如 2 × b 的元素处的一截都是不可数的)记 Ω 为使得 C 在 Ω 处的一截为不可数集的最小元。取 A 为这个截加上 Ω 所组成的集合。

值得注意的是，SΩ 是一个不可数良序集，并且它的每一截都是一个可数集。事实上它的序型由此而唯一确定。我们称之为极小不可数良序集。进而，

─

我们将用记号 SΩ 来表示不可数良序集 A＝SΩ∪{Ω} (理由后面说明)。

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