集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-7)

(A5)负元：

∀x ∈ F，∃ – x ∈ F：x＋(–x)＝(–x)＋x＝0 。

(M) 乘法公理：总结起来就是 F 中非零元素对乘法成乘法群。

(M1)封闭性：∀x，y ∈ F：xy ∈ F 。

(M2)可交换：∀x，y ∈ F：xy＝yx 。

(M3)可结合：∀x，y，z ∈ F：x(yz)＝(xy)z 。

(M4)幺元：∃ F ∋ 1 ≠ 0，∀x ∈ F：x1＝1x＝x 。

(M5)逆元：∀ F ∋ x ≠ 0，∃ 1/x ∈ F：x(1/x)＝(1/x)x＝1 。

(D) 乘法对加法的分配律：

∀x，y，z ∈ F：x(y＋z)＝xy＋xz 。

有序域(Ordered Field): 如果域 F 同时为有序集，且满足下面的条件，则称为有序域：

i)x，y，z ∈ F，y＜z：x＋y＜x＋z 。

ii)x，y， ∈ F，x＞0，y＞0 ⇒ xy＞0 。

有理数集是一个有序域。

根据加法公理和乘法公理我们就可以得到减法运算、商(倒数)，等等。正数、负数、幂等等。

满足全序关系的任何集合，在拓扑学中称为线性连续统(linear continuum)。

下面简单描绘一下什么是整数。利用我们前面6条公理，就可以来定义整数。

归纳集(inductive)：实数集的一个子集 A 如果它包含1，并且只要 x ∈ A , 则必有 x＋1 ∈ A , 则这个集合称为归纳的。

设A 表示 ℝ 中所有包含1的归纳子集的簇。正整数集 ℤ₊ 定义为 ℤ₊＝∩A 。

A∈A

注意，ℝ₊ 包含1且为归纳集( x＞0，x＋1＞0 )， 于是 ℝ₊ ∈ A，因此 ℤ₊ ⊂ ℝ₊， ℤ₊, 都是正数，这正是我们选用这个术语的原因。因为所有实数 x(x ≥ 1) 的集合是归纳集并且包含1，所以1就是 ℤ₊ 的最小元。

不难看出ℤ₊ 的性质：

1)ℤ₊ 是归纳集。

2) 归纳原理：若A 是包含1的正整数的一个归纳集，则 A＝ℤ₊ 。

整数: 是由 ℤ₊，0，ℤ₊ 的负数组成的集合。可以证明和、差、积都满足封闭性，但是商未必是整数。

整数的商的集合ℚ 称为有理数集。

可以证明，对于给定的整数n , 不存在满足 n＜α＜n＋1 的整数 α 。

若n 为一个正整数，以 Sₙ 表示所有小于 n 的正整数的集合，称作正整数的一个截断(section)。

S₁ 为空集， Sₙ₊₁ 是从1到 n 的所有正整数所组成的集合。在后面讨论中，我们使用记号：

Sₙ₊₁＝{1，2，· · ·，n}

下面介绍但不证明两条性质：

定理4.1 良序定理(well-ordering propert): ℤ₊ 中的每一个非空子集有一个最小元。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。