集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-6)

Z₊ × [0，1) ↦

↦

↦

[0，1) × Z₊

注意观察对于[0，1) × ℤ₊ 上的字典序，则和上面的普通的全序关系的序型完全不同， 这个全序集，每个元素都有后继者。

最大元、最小元、上有界、下有界、上确界、下确界，这些概念和实数上的定义类似，我们省略掉。另外同样对全序集来说，也是具有 上确界性质(最小上界性质)的，当然也具有下确界性质(最大下界性质)。

例：(–1，1) 具有全序关系的实数集，实数具有上确界性质，因此这个集合具有上确界性质。

给定任意A ，它的子集若在 A 中有上界，那么它的最小上界(实数)一定位于 A 中。比如说它的子集 {–1/2n：n ∈ ℤ₊} ， 虽然在 A 中没有最大值，但是，具有最小上界0。

但是，我们要小心，对于B＝(–1，0)∪(0，1)，就不具备最小上界性质。比如说它的子集 {–1/2n：n ∈ ℤ₊} ， 虽然在 B 中有上界， (0，1) 中的元素都是它的上界，但是在 B 中该集合没有最小上界。

到目前为止，我们已经讨论了学习拓扑所需的逻辑基础(logical foundations)， 也就是集合论的初等概念。

接下来，我们转向学习所需的数学基础(mathematical foundations), 整数和实数系。

1.4 整数和实数

相关的内容在前几节的例题和习题中我们已经非正式的使用过，现在需要给予正式处理。

建立这些基础的一个办法是，仅仅应用集合论公理来构造实数系，也就是说，赤手空拳的干(build them with one's bare hands)。这种方法需要花费很多时间和精力，并且其中的逻辑味道远远超过数学。

第二种方法比较简单，需要假定关于实数的某些公理，然后从这些公理出发进行讨论。本节大体上这样来处理实数的。准确的说，将给出实数的一些公理，然后指出如何从这些公理出发导出整数和实数的一些熟知的性质。

二元运算(binary operation)：是将 A × A 映射到 A 的一个函数 f ，称为集合 A 中的一个二元运算。

二元运算f ，通常不用函数类似的标记，而采用 αfα' 这样的记号来表示运算，和关系的记号类似。比如 α＋b，α – b，α * b，α◦b 等等。

(定义6)域：带有加法和乘法两种运算的集合 F ，若运算满足下面的域公理，则集合 F 称做域。

(A)加法公理：总结起来就是 F 对加法运算成加法群。

(A1)封闭性：若 x，y ∈ F，则 x＋y ∈ F 。

(A2)可交换：∀x，y ∈ F：x＋y＝y＋x 。

(A3)可结合：∀x，y，z ∈ F：x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z 。

(A4)零元：

∃0 ∈ F，∀x ∈ F：x＋0＝0＋x＝x 。

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