集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-5)

例1：考虑实轴上所有满足x＜y 的实数对 (x，y) 组成的关系，这是一个全序关系，称为实直线上的"通常的全序关系"。实轴上还有一种大家不太熟悉的全序关系：当 x²＜y² 或者当 x²＝y² 并且 x＜y 时有关系 xCy，这也是一种全序关系。

例2：血缘关系B 和同胞关系 S 都不满足全序关系。后代关系 D 性质比较好，满足性质(2),(3)，但仍不满足可比较性。这种关系是我们后面要讨论的严格偏序关系。

全序关系，我们通常使用小于符号＜ 来表示。对应上面定义中用 ＜ 替换 C 即可。这里不重复了。

有了全序的概念，我们就可以定义≤，≥，以及开区间、前驱(predecessor)、后继(successor)概念，这些概念，我们不详细说明。下面看下序型的概念。

定义：设A，B 分别有全序关系 ＜ᴀ＜ʙ , 如果这两个集合之间有一个一对一保序对应，也就是存在双射 f：A → B 使得 α₁＜ᴀ α₂ ⇒ f(α₁)＜ʙ f(α₂)

那么这两个集合A，B 的序型相同(have the same order type)。

例1：区间(–1，1) 与 ℝ 具有相同的序型，因为映射 f：(0，1) → ℝ , 定义为

x

f(x)＝────

1 – x²

是一个序保持双射对应(order-preserving bijective correspondence)。

y＝x/(1 – x²)

Figure 3.2

例2：A＝{0} ∪ (1，2)，B＝[0，1) 两个集合具有相同的序型，因为有映射 f：A → B 定义为

0 if x＝0

f(x)＝{

x – 1 if x ∈(1，2)

就是我们所需的双射保序映射。

字典序(dictionary order)：假设 A，B 是两个集合分别具有全序关系 ＜ᴀ＜ʙ 。然后在 A × B 上定义一个序关系 α₁ × b₁＜α₂ × b₂

如果α₁＜ᴀ α₂ 或者 α₁＝α₂ 且 b₁＜ʙ b₂ , 那么这样的 A × B 上的序称为字典序关系。

这个术语的名词就跟我们查字典的方式类似，因此称为字典序。

例1：平面上的一个字典序的例子，p 点小于铅垂线上面点，也小于其右侧铅垂线上的点。

•

p

例2：再考虑一个ℤ₊ × [0，1) 上的通常的全序关系。函数 f(n × t)＝n＋t – 1就是所需的双射保序映射。

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