集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-4)

证明：我们只需要证明，如果E∩E' ≠ ∅ , 则 E＝E' 即可。不妨设 E＝{y|y~x}，E＝{y|y~x'} 。

E E'

•w •

y

• x • x'

Figure 3.1

设y ∈ E∩E' , 由定义我们有 y ~ x，y ~ x' 。

对称性：x ~ y , 而 y ~ x'，于是就有 x ~ x' 。

∀ω ∈ E，由定义可知 ω ~ x ，由传递性就得到 ω ~ x' ，于是就得到结论 E ⊂ E' 。

因为 E，E' 地位没有差别，于是同样可得到 E' ⊂ E 。最终得到 E＝E' 。

给定一个集合A 中的一个等价关系，用 ℰ 来记由这个关系决定的所有等价类的簇。上面的引理证明了 ℰ 中不同元素无交。进一步还有结论：

1. ∀ x ∈ A，∃！E ∈ ℰ ，使得 x ∈ E。

2. ∪E＝A 。

E ∈ ℰ

因此簇 ℰ 就是集合 A 的分拆的一个特例。

分拆(partition)：集合 A 的一个分拆是 A 的无交子集的一个簇，它的并为 A 。

研究集合A 中的等价关系与研究 A 的分拆实际上是一回事。对于 A 的任意分拆 𝓓 ，则恰好存在 A 的一个等价关系，由它可以导出 𝓓 。

例1：将平面上两个点等价定义为它们与原点的距离相等，显然满足自反性、对称性、传递性，则等价类的簇ℰ 是以原点为中心的圆及原点这个单点集组成的。

例2：将平面上两个点等价定义为它们的y 坐标相同，则等价类的簇是平面上所有平行于 x 轴的直线的簇。

例3: 设𝓛 为平面上与 y＝ –x 平行的所有直线的簇，则 𝓛 是平面的一个分拆，因为平面的任意点都在一条这样的直线上，并且不同的两条直线无交。分拆 𝓛 是由平面上的以下等价关系所产生的：如果 x₀＋y₀＝x₁＋y₁ , 则点 (x₀，y₀)，(x₁，y₁) 等价。

例4：设 𝓛 ' 为平面上所有直线的簇，则𝓛 ' 不是平面的一个分拆，因为 𝓛 ' 的不同元素未必无交，两条不重合的直线也可能相交。

序关系(order relation)：也称为全序(simple order)，线性序(linear order)。

如果A 集合中的关系 C 满足下面的性质：

i)可比较性(Comparability)：对于 ∀x ≠ y ∈ A，或者 xCy 或者 yCx 。

ii)非自反省(nonreflexivity)：A 中任何元素 x 都不成立 xCx 。

iii)传递性(transitivity)：xCy，yCz ⇒ xCz 。

注意： i) 条件不能排除xCy，yCx 同时成立，但是加上ii)，iii)后，就只能成立其中之一，否则矛盾。

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