集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-3)

逆像(preimage, counterimage, inverse image 原像、反像、逆像)：f⁻¹(B₀)＝{α|f(α) ∈ B₀}，B₀ ⊂ B

说明：

1. 逆像有时候也称其为纤维(fibre)，如果 A 中的任何元素的像都不在 B₀ 中，则 f⁻¹(B₀)＝∅ 。

2. 注意 f⁻¹ 有两层意思，只有当 f 为双射时，两者表达的对象集合一致。

3. 使用 f，f⁻¹ 时需要格外小心。

4. f⁻¹ 作用在 B 的子集上时有很好的性质，它保持着集合的 包含、并、交、差关系。

5. f 作用在 A 的子集上时，仅保持集合的 包含和并。

6. 一般来说 f⁻¹(f(A₀))＝A₀，f⁻¹(f(B₀))＝B₀ 并不成立。

7. f⁻¹(f(A₀)) ⊃ A₀，当 f 为单射时，取等； f⁻¹(f(B₀)) ⊂ B₀，当 f 为满射时取等。

3 关系

从某种意义上来说，关系要比函数更广泛。本节介绍数学家门所谓的关系定义，并且研究在数学中常见的两种关系:等价关系(equivalence relations)和全序关系(order relations)。

关系: 集合 A 上的关系是笛卡尔积 A × A 的子集 C 。

如果C 是 A 上关系，我们用记号 xCy 表示 (x，y) ∈ C，读作 x，y 有关系 C 。

函数f：A → A 的指派法则(rule of assignment) r 也是 A × A 的一个子集。但是它是一种非常特殊的种类：A 中的每个元素在 r 的第一个坐标中仅仅出现一次。 A × A 的所有子集都是 A 上的关系。换句话说这样的函数只是关系中一种特殊情况而已。

例1: 设 P 为全世界所有人的集合， D ⊂ P × P 定义为：D＝{(x，y)|x y }

则D 是 P 集合中的一种关系。这个例子中， x，y 有关系 D 与 x y 说的是同一件事。

B＝{(x，y)|x y }

S＝{(x，y)|x y }

我们就可以称B 为血缘关系， S 为同胞关系。

这三种关系具有完全不同的性质，比如血缘关系具有对称性，而后代关系则没有对称性。

集合A 上的等价关系 C 具有下面的三个性质：

1)反身性(reflexivity)：∀x ∈ A：xCx 。

2)对称性(Symmetry)：xCy ⇒ yCx 。

3)传递性(transitivity)：xCy，yCz ⇒ xCz 。

等价关系通常使用符号~ 替换上面的 C 。

等价类(equivalence class)：E＝{y|y~x} 表示由代表元 x 确定的等价类。

等价类具有下面的性质：

引理3.1: 两个等价类 E，E' 要么不相交，要么相等。

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