集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-2)

函数: 函数 f 是一个指派法则 r ，连通一个包含 r 的像集的集合 B 。法则 r 的定义域 A ，称为 f 的定义域。 r 的像集就称为 f 的像集。集合 B 就称为 f 的陪域(codomain), 很多书籍并没有给出这个集合的名称，它一般包含值域。

对于函数f：A → B , 可以读作" f 是从集合 A 到集合 B 的函数"，或者" f 是从 A 到 B 的映射"，或者简单的说" f 映射 A 到 B "。有些时候，人们把 f 形象的看成是将 A 中的点自然地带到(carry to) B 中的点的几何变换。

对于f：A → B，α ∈ A，用 f(α) 表示法则 f 确定赋值给 α 的 B 中的唯一元素，称之为 f 在 α 的值，或者说是 α 在 f 下的像。正式的说，如果 r 是函数 f 的法则， f(α) 就是使得 (α，f(α)) ∈ r 的 B 的那个唯一的元素。

使用这种表示法，可以把前面所有的函数表达的更加严谨。

限制映射(restriction of f)：如果 f：A → B，A₀ ⊂ A，定义 f 的限制到 A₀ 为函数将 A₀ 映射到 B ，它的法则是：{(α，f(α))|α ∈ A₀}

表示为f|ᴀ₀ ，读作 f 被限制到 A₀ 。

复合映射(composite)：给定 f：A → B，g：B → C，

定义复合映射g◦f 为 g◦f：A → C ，定义为 g◦f(α)＝g(f(α)) 。

正式的说，g◦f：A → C 是规则如下的函数： {(α，c)|for some b ∈ B，f(α)＝b，g(b)＝c}

f g

α f(α)＝b cg(f(α))＝g(b)＝c

A f(α)

B C

单射(one-to-one, injective)：[f(α)＝f(α')] ⇒ [α＝α']，只依赖对应法则。

满射(onto, surjective)：[b∈B] ⇒ [∃ α ∈ A：b＝f(α)]，除了对应法则，还依赖于陪域(值域)。

双射(bijective, one-to-one correspondence)： 同时单射和满射。

两个单射的复合还是单射；两个双射的复合还是双射。

如果f 为双射，则存在一个 B → A 的映射称为 f 的逆，记做 f⁻¹ ，同时它也是双射。！

引理2.1: 设 f：A → B，

若存在g：B → A，h：B → A，s.t.∀ α ∈ A：g(f(α))＝α，∀ b ∈ B：f(h(b))＝b，则 f 为双射，且有 g＝h＝f⁻¹ 。

像集(image)：设 f：A → B，A₀ ⊂ A，

f(A₀)＝{b|∃ α ∈ A₀：b＝f(α)}

称为A₀ 在 f 下的像。

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