集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-1)

目录

函数的基本概念 ▹

关系 ▹

整数和实数 ▹

笛卡尔积 ▹

有限集 ▹

可数集和不可数集 ▹

递归定义原理 ▹

无限集和选择公理 ▹

良序集(well-ordered sets) ▹

极大原理（MaximumPrinciple) ▹

这里采用集合论的朴素观点(naive point), 个人理解就是大家都接受的那种简单观点。对于集合中的对象含义都是直观而且清楚的，然后我们在这样的基础上继续进行，而不对这个概念深入分析。这种分析恰好属于数学和数理逻辑的基础，而不是我们开始研究的这个领域的主题。

逻辑学家对集合论进行了详细的分析，并为这个主题制定了公理。他们的每一个公理都表达了数学家普遍接受的集合的一个性质，它们共同提供了一个足够广泛和强大的基础，使得数学的其余部分都可以建立在它们的基础之上。

不幸的是，如果使用集合论不小心，仅靠直觉的话，就会导致矛盾。事实上，集合论公理化的原因之一就是处理集合的规则可以避免这些矛盾。尽管我们不处理公理，但是我们在处理集合的时候需要从它们派生。在本书中，你将学习如何以学徒的方式处理集合，通过观察我们如何处理集合以及自己如何处理集合。在学习的某些阶段中，你可能希望更仔细的、更详细的学习集合论，那么逻辑或基础课程就可以了。

函数的基本概念

函数基本上在每个数学分支中都会提及，它在整个数学中具有重要的地位，几乎没有必要提醒你它对所有数学都有多重要。在本节，我们将给出准确的数学定义，并探索一些相关的概念。

函数通常视作某个法则(rule), 按照这个法则为集合 A 的每个元素确定集合 B 的一个元素。

微积分中，函数表示方法有: 简单的公式表示，比如f(x)＝3x²＋2 , 也有级数的表示方式 f(x)＝∑ xᵏ。

通常我们并不明确指定集合A，B 是什么，而约定 A 是使法则有意义的实数集，B 是整个实数集。

然而随着数学的发展，我们需要给出函数更精确的定义。数学家们对上述函数的提法尽管表示认同，但是，他们使用的函数定义更加准确。首先，我们定义如下：

定义:指派法则(rule of assignment)是两个集合的笛卡尔积 C × D 的一个子集 r ，这个子集具有性质：C 的每个元素最多是 r 中一个有序偶对的第一个坐标。

因此，C × D 的子集 r 若满足 [(c，d) ∈ r ∧ (c，d') ∈ r] ⇒ [d＝d']

则成为一个指派法则。我们可将r 设想成一种指派方法，为 C 的元素 c 指派 D 的满足 (c，d) ∈ r 的元素 d 。

对于指派法则r ，其定义域(domain)是由 r 的元素的第一个坐标组成的 C 的子集，其像集(image set)是由 r 的元素的所有第二个坐标组成的 D 的子集，即

domain(r)＝{c|∃d ∈ D：(c，d) ∈ r}

image set(r)＝{d|∃c ∈ C：(c，d) ∈ r}

如果给定了一个指派法则r ， 其定义域和像是完全确定的。

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