集合论和逻辑（Munkres拓扑） (12-11)

定理10.3：如果 A 是 SΩ 的可数子集，那么 A 在 SΩ 中有上界。

证明：设A 是 SΩ 的可数子集。则 ∀α ∈ A，Sα 可数。因此 B＝∪Sα 可数。

α∈A

因为SΩ 不可数，因此 B 不是 SΩ 的全部。

设 x ∈ SΩ，x ∉ B，则断言 x 是 A 的上界，也就是 ∀α ∈ A：α ≤ x 。

如若不然x＜α 对于某个 α ∈ A 成立。因此 x ∈ Sα，于是就有 x ∈ B，这与我们对 x 的选择方式发生矛盾。假设不成立。因此结论得证。

11 极大原理(Maximum Principle)

严格偏序(partial order)定义，若集合 S 上有一种关系 ≺，满足下面的性质：

1)A ≺ A 不成立。

2)A ≺ B，B ≺ C ⇒ A ≺ C 。

则称关系≺ 为 A 上的一个严格偏序。

全序(Order)定义，若集合 S 上有一种关系 ＜，满足下面的性质：

1)x ≠ y，则要么 x＜y，要么 y＜x 。

2)x＜y ⇒ x ≠ y

3)x＜y，y＜z ⇒ x＜z 。

则称关系＜ 为 A 上的一个order关系。

定理11.1(极大原理)：设 A 是一个集合， ≺ 是一个严格偏序。则存在 A 中的一个极大全序子集 B 。

例1：对于一个圆簇A 来说，如果定义一个关系: 是某集合的一个真子集，这个关系是 A 上的一个严格偏序关系。

例2：平面ℝ² 中的两点 (x₀，y₀)，(x₁，y₁) 当 y₀＝y₁，x₀＜x₂时，定义 (x₀，y₀) ≺ (x₁，y₁)

则这个关系是平面上的一个偏序。只有在纵坐标相同时，两个点才可以比较。于是极大偏序集为ℝ² 中的水平直线。

良序定理蕴含着极大原理。

尽管Hausdorff极大原理出现的最早，并且可能是最易于理解的一种说法，然而，现在引用最多的却是另外一个与之有关的说法，就是Zorn引理，尽管Kuratowski(1922)及Bochner(1922)都曾经先于Zorn阐述并证明了某种形式的Zorn引理。

定义：设 A 为集合， ≺ 为它上面的严格偏序。如果 B ⊂ A ， B 的一个上界是 c ∈ A，使得 ∀b ∈ B，要么 b＝c， 要么 b ≺ c 。 A 的极大元素是 m ∈ A，使得不存在元素 α ∈ A 有关系 m ≺ α 成立。

Zorn引理：设 A 为严格偏序的集合。如果 A 的每个简单的有序子集都在 A 中有上界，则 A 有极大元素。

Zorn引理是极大原理的简单推论: 给定集合A ，极大原理蕴含了 A 具有极大的简单有序子集 B 。Zorn原理的假设告诉我们 B 在 A 中有上界 c 。元素 c 自动就是 A 的最大元素。事实上若存在某个 d ∈ A：c ≺ d，那么集合 B∪{d} 是一个全序集且以 B 为其真子集，这与 B 极大性矛盾。

同样的，极大原理也是Zorn引理的一个简单推论。

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