【数学与哲学翻译】Peter Smith论数学 (7-6)

而另一位剑桥骄子弗兰克·拉姆齐（Frank Ramsey）（以及他之后的库尔特·哥德尔）同样著名地指出，一些非直谓的定义肯定是完全无害的。拉姆齐的例子：在房间里挑出一个人作为最高的人（这个人是这样一个人，房间里没有人比他更高）就是通过量化房间里的人来挑选他，而这些人中包括那个最高的人。这有什么问题吗？当然没有！在这种情况下，房间里的人本来就在那里，与我们挑选他们中的任何一个无关。那么有什么阻止我们通过他在他们中的特殊地位来识别他呢？逻辑上或本体论上并没有发生任何奇怪或可怕的事情。

同样，我们似乎也可以在其他情境中采取实在论立场，假设——在某种意义上——“现实”已经为我们提供了一个固定的量化对象的总体。如果这些对象本来就“在那里”，那么通过使用一个量化包括这个对象的某个域的描述来挑选出其中的一个，会有什么问题呢？

然而，如果我们所涉及的是某个我们并没有采取实在论的领域，情况就不一样了。例如，有一种思路贯穿了庞加莱、早期的罗素、法国分析家如博雷尔、贝尔和勒贝格，然后由魏尔在他的《连续体》中特别发展：这种思路认为数学应该只关注那些可以被定义的对象。这与Thomas Forster说到的另一个话题有关，Thomas强调了一个现代独特的函数概念，即任何输入和输出的配对都构成函数，无论我们是否能定义它——而这恰好就是从庞加莱到魏尔等人的传统所反对的（此处借Thomas的描述）“抽象废话”。在这个传统中，后来的伟大构造主义数学家埃雷特·毕晓普(Errett Bishop)如是说：

一个集合并不是一个拥有理想存在的实体。一个集合只有在它被定义了之后才存在。

在这种思路下，定义一个集合，就相当于是创造了这个集合，把它带入了存在里。从这个角度来看，非直谓的定义确实会有问题。因为这种“定义主义”思想暗示了一个分层图景。我们定义一些东西；然后我们可以用这些东西来定义更多的东西；然后用这些东西来定义更多的东西；如此循环。但我们不能通过非直谓地调用一个包括我们试图定义的东西的整个领域来定义一个东西的存在。这的确是在恶性循环中打转。

所以最初的想法是这样的：如果你在某个领域上是一个完全的实在论者——我们可以说是“柏拉图主义者”，如果你认为这个领域中的实体“本来就在那里”，那么你会认为这个领域上的非直谓定义是完全可以的。如果你是某种反实在论者或构造主义者，你可能会认为非直谓定义是不合法的。

所以在这里，我们有一个很好的例子，你对数学的哲学大图景（“我们正在探索一个‘本来就在那里’的抽象领域” vs. “我们正在共同构建一个数学宇宙”）似乎确实会影响你自认可以合法使用的数学工具。因此，考虑到公认的数学中充斥着非直谓的构造，这似乎表明它认可了对自己所做的事情的实在论概念。所以是的，似乎大多数数学家都在暗中陷入了对他们事业的某种实在论概念，正如Imre和Thomas以不同的方式都接近暗示的那样。毕竟，我们不可能通过说“这不是我们的问题”来轻易地逃避与一些大图景问题的纠缠。

回到我之前提到的“主义之战”的故事。我在介绍它时稍微作弊了，因为我假设了参加这些“主义之战”的人们首先不加批判地接受数学的现状，然后再来看看它如何与我们对世界的理论和我们对世界认知的理论相契合。换句话说，我暂时地默认了，哪怕你再怎么从哲学角度去尝试理解数学如何与其他形式的探究相契合，你也不会研究出什么对数学家来说诧异或许要在乎的结果，例如揭示数学家们可能在某些方面做错了一些事情，需要改正他们的方式之类。

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