【数学与哲学翻译】Peter Smith论数学 (7-7)

但正如我们刚才注意到的，从历史上看，情况并不是这样的。因此，虽然逻辑主义（Imre提到过）和希尔伯特的复杂形式主义是保守的主义，且它们应该给我们提供一些方案，来坚持“经典数学没有毛病，不需要改动”这一主张，但这些主义的立场却实实在在地面临着一些其他的、根本性的、批判性的主义。这些包括著名的布劳威尔直觉主义和魏尔的直谓主义。批评者认为，19世纪末的经典数学在陷入“抽象废话”时已经过度扩张了（这就是为什么我们在发现集合论和其他悖论时出现了基础危机），而为了摆脱困境，我们需要坚持更具构造性/直谓性的推理风格，认识到数学世界在某种意义上是我们的建构（你也可能会认为这与我们如何获取数学知识有关）。

这个故事目前我讲得还是很粗糙，不过我们无法在这里进一步跟进这些争论了。然而，作为一个简单的历史概述，发生的事情是，就数学实践而言，保守的经典实在论者获胜了。例如，直谓分析在数学大厦的一个小房间里幸存下来，那里的从业者仍然喜欢炫耀他们可以单腿跳多远，或者说他们可以单手绑在背后跳多远（“抽象废话”的爱好者就会这么描述他们的工作，借用Thomas的说法）。然而还是要提一件非常重要的事情，那就是事实证明，对科学来说，直谓分析实际上似乎已经完全够用了（所以我们可以说没有外部的、功利性的理由去做经典主义数学）。但经典实在论者的胜利并不是一个概念上有充分理由的哲学性胜利——有时候会有这样的胜利，但这绝对不是其中之一。概念上的争论一直有持续，但希尔伯特和其他人的政治权威足以说服大多数数学家，他们不需要改变自己的做事方式。所以他们就没有改变。（译者注：此处作者指的是数学史上著名的Brouwer-Hilbert事件，该事件由两人的数学哲学观念争论而生，继而上升到具体的职业生计纠纷，最终Hilbert将Brouwer从Mathematische Annalen编辑委员会除名）

然而——现在我要更加幻想一些，但我希望不会太过分——我们似乎可以想象在某个孪生地球上事情发展得有所不同。在那里，数学家的内部文化（如果你愿意，可以称之为哲学）在过去一个半世纪中发展与我们不同，以至于低承诺的方法变得特别受重视，而构造主义者/直谓主义者们占据了大厦的主要房间，给他们的学生发放奖学金。而那些抽象废话的爱好者们被放逐到阁楼上，去玩他们的野生集合论之类的东西，这些东西在“娱乐数学系”里。或者如果你觉得我们无法想象这种情况，又为什么无法想象呢？

我们还有许多能讨论的内容。但也许，只是也许，数学家在对哲学家不屑一顾之前，应该偶尔反思一下，我们的数学实践是否真的没有与一些深层次的、广泛的大图景的假设紧密相连，而这些假设是值得挑战的。如果，正如Imre在开头所说的，数学家倾向于是柏拉图主义者，那完全有可能这种“主义”的站队并不是一个脱离数学实践、无所事事的哲学花瓶，而是在产生一些确确实实需要被认识和反思的切实影响。

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