【数学与哲学翻译】Peter Smith论数学 (7-5)

比如说，有个简单的事实，那就是哲学家实际上谈论的远不止这些大图景。诚然，大学本科哲学课程倾向于集中在这个领域：比如说斯图尔特·夏皮罗（Stewart Shapiro）的很优秀的数哲教材《思考数学》（Thinking about Mathematics，牛津大学出版社，2000年）讲的就是这些。（顺便说一句，夏皮罗在书的第一章中对数学实践是否由哲学假设支撑这个问题提出了一些有趣的观点。）但哲学家也担心更具体的问题，比如：我们有什么理由认为连续统假设有一个确定的真值吗？当我们加强ZFC来决定连续统假设的时候，我们如何决定新的集合论公理？无论如何，ZFC有什么了不起的地方，与其他集合论相比（它有什么得天独厚的动机吗）？在什么意义上，如果有的话，集合论是数学的基础？在某种意义上，Topos理论是基础的竞争者吗？非常抽象的理论，比如范畴论，给我们提供了什么样的解释/洞察？在数学中，什么样的解释性证明是有意义的？数学深度现象是仅仅在观察者的眼中，还是有客观的东西？反推数学项目（它表明可应用的数学可以建立在所谓的直谓性二阶算术的非常弱的系统中）我们应该怎么看待？事实上，每一个真正的证明都必须是能被严格地形式化到牙齿吗？如果是，那又需要使用什么级别的逻辑工具来形式化才令人满意？还有比如说存在不可能被翻译成形式化的图解证明吗？等等等等……

我可以举上一整天例子。但我觉得重点已经说得很清楚了。这种后退一步来反思我们数学实践行为的问题，仍然可以合理地被称为哲学问题（即使它们不完全符合塞拉斯的座右铭）。比起我之前所说的大图景问题，这些问题则更为局部——它们不是从我们的肩膀上往下看，比较数学与其他形式的求知探究，然后想知道它们如何相互契合；相反，它们是数学事业内部的好问题。而且尽管它们是哲学问题，但研究它们的人既有以哲学为业却有数学倾向的人，又有以数学为业却有哲学倾向的人（而且有时很难记得谁是谁，有些人两边都沾得上）。我们列出的这些问题，肯定是值得一些数学家花一些时间思考的。幸运的是，他们确实有思考这些问题。

所以我觉得还是不要像Thomas那样那么快就对哲学家不屑一顾吧。

但我还没说完。也许，到头来一些大图景问题确实仍然潜伏在这些数学边缘问题的背后。

再回头考虑一下那个不太明确的问题“数学是否需要哲学？”。这里有另一种理解它的方式：

在他们的事业上，数学家是否不可避免地受到对某种一般性概念的指导（如果你愿意的话，可以称之为“哲学”），这种概念决定了他们认为数学应该如何被追求，又或者说决定了他们接受哪些论证模式是合法的？

Imre Leader和Thomas Forster都在比较宽泛的层面上触及了这个版本的问题。但为了帮助我们更深入地思考这个问题，我建议我们来看一些细节，从重新审视一个历史上真实发生的争论开始。

我们需要先了解一些术语（这些术语来自伯特兰·罗素）。如果定义一个对象E时，要量化包括E自身在内的一些对象，那么这个定义就被称为是“非直谓的”(impredicative)。举个例子：集合(X，≤)的下确界的标准定义是非直谓的。因为我们说y＝inf(X)当且仅当y是X的一个下界，而且对于Ⅹ的任何下界z，z ≤ y。注意这个定义量化了X的所有下界，而X的下界之一就是下确界本身（假设存在下确界）。

历史上，例如庞加莱和在他之后的伯特兰·罗素都认为非直谓的定义实际上和更直接的循环定义一样糟糕。这些定义，他们认为，违反了禁止恶性循环定义的某个原则。但他们是对的吗？还是非直谓的定义是无害的？

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