逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-9)

结果确实如此。事实证明，弗雷格为验证其逻辑主义，而使形式系统适得其反。他试图在类、或（概念）的外延的一般理论中统一所有的算术和分析。类被认为是逻辑对象的典范。策略是将自然数定义为抽象、逻辑对象的更广泛宇宙中的特定类。然后，利用这些定义，可以将算术的基本原则（如戴德金-皮亚诺公理）作为类理论中的定理推导出来。为此，最终只需利用支配类本身的更深层次的公理（或基本法则）。有关此策略的更多细节，请参见第1.2.4节。

在这些更深层次的公理中，有弗雷格命运多舛的基本法则V。这与 HP 一样，是一个双管抽象原则。然而，基本法则 V 允许类的抽象，而实现这一点的等价关系是定义谓词之间的共外延关系。弗雷格从未用尤利乌斯·凯撒难题反对基本法则 V。使用现代符号，基本法则 V 可以表示为以下公理模式，其中 Φ 和 Ψ 是公式的占位符：

V {x│Φx}＝{x│Ψx} ↔ ∀x(Φx ↔ Ψx).

弗雷格假设一种“逻辑完美”的语言，其中每个良构词项——包括任何形式为{x│Φx}的类-抽象词项——都指称。如果相反，某人认为在其语言中的某些良构单称词项可能不指称对象，那么就必须采用一种不同的逻辑——所谓的自由逻辑。（它不受所有单称词项都指称这一背景假设的影响。）这种逻辑用关于涉及词项的“存在前提”限定了量词规则。例如，在使用逻辑完美语言的非自由逻辑时，不能直接从“对所有 x，F(x)”推导出“F(t)”：

∀xF(x)

────

F(t)

在处理可能不指称项的自由逻辑中，需要确保单称项t 指称：

∀xF(x) ∃！t

───────

F(t)

请读者注意，∃！t，应读作“t 存在”，是 ∃xx＝t 的简写。其他量词规则也需要类似的修改。

即使弗雷格没有假设一种逻辑完美的语言，而是使用自由逻辑，基本法则 V 仍然会使他承诺所有 Φs 的类的存在，不论定义公式 Φ 是什么。证明如下。

证明：首先，注意到这是一个逻辑真理：

∀x(Φx ↔ Φx).

根据基本法则 V 的从右到左方向，取 Φ 为 Ψ ，可以得出：

{x│Φx} ＝{x│Φx}.

但在自由逻辑中，同一性成立的前提是其词项指称。因此：

∃y(y＝{x│Φx}).

▢

这个模式如今被称为“朴素概括”（Naïve Comprehension）。概括是对集合或类的抽象。基本法则V 使弗雷格声称，对于任何定义谓词 Φ，都存在一个所有且仅包含满足 Φ 的事物的类。

请注意，任何涉及抽象算子 @ 的双管抽象原则，其右侧

i. Φ Ψ

ii. Φ Ψ

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